ein wichtiger Link dazu:
https://www.matheretter.de/rechner/lgs
Gleichungssystem:
x - 2y + z + t = 8
2x + 3y - 2z + 3t = 14
4x - y + 3z - t = 7
3x + 2y - 4z + 5t = 15
Umformen und sortieren (Variablen alphabetisch links, Konstanten rechts):
t + x - 2y + z = 8
3t + 2x + 3y - 2z = 14
-t + 4x - y + 3z = 7
5t + 3x + 2y - 4z = 15
Stelle die Koeffizientenmatrix auf. Reihenfolge der Variablen: t, x, y, z, Konstante
1 1 - 2 1 8
3 2 3 - 2 14
- 1 4 - 1 3 7
5 3 2 - 4 15
Das Diagonalenfeld der 1. Zeile ist bereits 1.
Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird das -3fache der 1. Zeile addiert:
1 1 - 2 1 8
0 - 1 9 - 5 - 10
- 1 4 - 1 3 7
5 3 2 - 4 15
Zur 3. Zeile wird die 1. Zeile addiert:
1 1 - 2 1 8
0 - 1 9 - 5 - 10
0 5 - 3 4 15
5 3 2 - 4 15
Zur 4. Zeile wird das -5fache der 1. Zeile addiert:
1 1 - 2 1 8
0 - 1 9 - 5 - 10
0 5 - 3 4 15
0 - 2 12 - 9 - 25
Durch Multiplikation der 2. Zeile mit -1 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 1 - 2 1 8
0 1 - 9 5 10
0 5 - 3 4 15
0 - 2 12 - 9 - 25
Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das -1fache der 2. Zeile addiert:
1 0 7 - 4 - 2
0 1 - 9 5 10
0 5 - 3 4 15
0 - 2 12 - 9 - 25
Zur 3. Zeile wird das -5fache der 2. Zeile addiert:
1 0 7 - 4 - 2
0 1 - 9 5 10
0 0 42 - 21 - 35
0 - 2 12 - 9 - 25
Zur 4. Zeile wird das 2fache der 2. Zeile addiert:
1 0 7 - 4 - 2
0 1 - 9 5 10
0 0 42 - 21 - 35
0 0 - 6 1 - 5
Durch Division der 3. Zeile durch 42 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 0 7 - 4 - 2
0 1 - 9 5 10
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 - 6 1 - 5
Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das -7fache der 3. Zeile addiert:
1 23
1 0 0 - — ——
2 6
0 1 - 9 5 10
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 - 6 1 - 5
Zur 2. Zeile wird das 9fache der 3. Zeile addiert:
1 23
1 0 0 - — ——
2 6
1 5
0 1 0 — —
2 2
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 - 6 1 - 5
Zur 4. Zeile wird das 6fache der 3. Zeile addiert:
1 23
1 0 0 - — ——
2 6
1 5
0 1 0 — —
2 2
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 0 - 2 - 10
Durch Division der 4. Zeile durch -2 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 23
1 0 0 - — ——
2 6
1 5
0 1 0 — —
2 2
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 0 1 5
Mit der 4. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 4. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das 1/2fache der 4. Zeile addiert:
19
1 0 0 0 ——
3
1 5
0 1 0 — —
2 2
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 0 1 5
Zur 2. Zeile wird das -1/2fache der 4. Zeile addiert:
19
1 0 0 0 ——
3
0 1 0 0 0
1 5
0 0 1 - — - —
2 6
0 0 0 1 5
Zur 3. Zeile wird das 1/2fache der 4. Zeile addiert:
19
1 0 0 0 ——
3
0 1 0 0 0
5
0 0 1 0 —
3
0 0 0 1 5
In der letzten Spalte stehen die Lösungen.
