Ich möchtes es einmal ohne l'Hospital versuchen, vielleicht entspricht das Deinem ursprünglichen Ansatz, den ich allerdings nicht so recht entziffern konnte.
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \frac{x-1}{x+1}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \frac{x+1-1-1}{x+1}\right)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(1-\frac{2}{x+1}\right)\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x}\right)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x+1}}{1-\frac{2}{x+1}}\right)= \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\ln \left(\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x+1}\right)-\ln \left(1-\frac{2}{x+1}\right)\right)= \)
\( \ln \left(e^{-2}\right)-\ln (1-0)=-2 \)
Beim Übergang zur letzten Zeile wird an einer Stelle sinngemäß die Folgendarstellung der Exponentioalfunktion genutzt:
\( \exp (x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \)