Harmonie im Jahr 2013 oder im Jahr 2012 größer?

Question

Ich hörte mal einen sagen, "die Harmonie unter den Menschen ist dieses Jahr (2013) größer als letztes Jahr, 2012".

Da dachte ich, H_(2013) ist natürlich größer als H_(2012). Daraus lässt sich aber bestimmt eine spannende Aufgabe machen. Da es ja auch 'böse' Menschen gibt, wollte ich H_n durch eine Zahl (dann quasi die Anzahl der bösen Menschen) teilen. Diese Zahlen dürfen aber nicht gleich sein, denn sonst ist es ja wieder das selbe. Also kam ich dazu:

Was ist größer: 1/(2012) * H_(2012) oder 1/(2013) * H_(2013)

Ich habe vollständige Induktion auf einen allgemeineren Fall versucht und nich anderes, aber alles vergeblich.

Könnt ihr mir helfen?

Gruß...

Answer 1

Diese Zahlen (H_n)/n sind der Mittelwert der Zahlen 1/1 bis 1/n. Zu den Zahlen, über die gemittelt werden soll, kommen also immer kleinere hinzu.

Comments

Ja, der Mittelwert, das habe ich verstanden. Aber warum ist der Mittelwert von 1/1 ... 1/(n+1) dann kleiner? Ich will es ja beweisen. Es hört sich plausibel an, aber... Beweisen kann ich es nicht.  

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Der Mittelwert von 1/1 ... 1/n ist natürlich größer als der von 1/1 ... 1/(n+1).

Aber wie beweist man das?

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Das kannst du jetzt mit vollständiger Induktion machen.

Also zeigen das es für n so ist. Ist sicher peanuts und dann zeigen das wenn  es für n gilt es auch für n+1 gilt.

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Ist es so richtig:

I.A.: (1/1 + 1/2)/2 > (1/1 + 1/2 + 1/3)/2 (Mit Taschenrechner ausgerechnet)

I.S.: (S_(i=1)^n 1/i)/n ( > (S_(i=1)^{n-1} 1/i)/(n-1) )
Jetzt muss ich noch zeigen, dass H_(n+1) < H_(n-1):

        Aber wie?

Ist das bisher richtig?

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Du kannst den ursprünglichen Mittelwert (der ersten n Zahlen) mit n+1 erweitern, so dass du im entstehenden Zähler die Summe 1/1 + ... + 1/n mal 1 + 1/n und im Nenner n+1 schreiben kannst. Im Zähler solltest du dann die Summe von 1/1 bis 1/n und zusätzlich den ursprünglichen Mittelwert wiedererkennen. Diesen Mittelwert kannst du z.B. nach unten durch 1/(n+1) abschätzen [bzw. jeden Summanden einzeln] und bist fertig.