Wie löse ich die Exponentialgleichung 2^x - 2^{-x}=1?

Question

Ich finde den Ansatz die Gleichung

2^x - 2^-x = 1

Zu lösen nicht. Ich habe versucht die Gleichung in die Form a^x = b zu überführen, das habe ich aber nicht hinbekommen.

Bekannt sind die Logarithmus- und Potenzgesetze 9. Klasse

Answer 1

Setze z=2^x dann ist 1/z = 2^-x  und du hast

z - 1/z = 1    | *z

z^2 - 1 = z

Das löst du mit pq-Formel und machst die

Substitution rückgängig.

Answer 2

Substituiere z= 2^x

-------->z - 1/z= 1 | *z

z^2 -1=z

z^2 -z -1=0 ->PQ- Formel

z_1= 1/2 +(√5)/2

z_2=1/2 -(√5)/2

---------<Resubstitution:

2^x= 1/2 +(√5)/2   und  2^x= 1/2 -(√5)/2

x *ln(2) = ln(1/2 +(√5)/2 ) und  x *ln(2) = ln(1/2 -(√5)/2 )---->hat keine Lösung

Lösung:

x= (ln(1/2 +(√5)/2 ))/ ln(2)