Integrationsgrenzen bei Transformation auf Kugelkoordinaten

Question

Hallo Mathelounger,

Leider weiß ich nicht wie ich die Integrationsgrenzen finden soll. Dachte r zwischen 1 und 3, ρ zwischen 0 und Pi, da x,y auch negativ sein können und ψ zwischen 0 und π /2, da z positiv ist. Weiß nicht was ich da falsch mache.

Answer 1

Hi,

das z vernachlässigt hast Du hier eine Kugel. Die Grenzen wären dann

r von 0 bis 3

φ von 0 bis 2π

ψ von 0 bis π

Nun haben wir aber keine ganze Kugel, sondern weniger als eine Halbkugel. Am besten mit Hilfe einer Skizze veranschaulicht.

Da habe ich ψ auch schon eingetragen. Das können wir errechnen, da wir die orangene Strecke mit 1 angeben können und die grüne ist ja der Radius, also 3.

cos(ψ) = 1/3

ψ = cos^{-1}(1/3)

Damit ist die Untergrenze von ψ mit π - cos^{-1}(1/3) und die Obergrenze mit π anzugeben.

Grüße