Aufgabe:
Betrachten Sie nun das bestimmte Integral
\( I:=\int \limits_{a}^{b} \sin (n \ln (x)) \mathrm{d} x, \)
mit \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) sowie \( a, b \in \mathbb{R} \), wobei \( b>a>e \) ( \( e \) bezeichnet die Eulersche Zahl) gelten soll. Es wird nun eine Variablentransformation durchgeführt. Bestimmen Sie die Funktion \( h(z) \), sodass
\( I=\int \limits_{A}^{B} \sin \left(\sqrt{1+z^{2}}\right) h(z) \mathrm{d} z, \)
wobel \( A \) und \( B \) die neuen Integrationsgrenzen bezeichnen (es soll \( B>A>0 \) gelten).
\( h(z)=\frac{1}{n} \frac{z}{1+z^{2}} \exp \left(\frac{z}{n} \sqrt{1+z^{2}}\right) \)
\( h(z)=n \frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}} \exp \left(n \sqrt{1+z^{2}}\right) \)
\( h(z)=\frac{1}{n} \frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}} \exp \left(\frac{1}{n} \sqrt{1+z^{2}}\right) \)
\( h(z)=\frac{1}{n} \frac{z}{1+z^{2}} \exp \left(\frac{1}{2} \ln \left(1+z^{2}\right)+\frac{1}{n} \sqrt{1+z^{2}}\right) \)
\( h(z)=n \frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}} \exp \left(\ln \left(1+z^{2}\right)+n \sqrt{1+z^{2}}\right) \)
Außerdem sollen dien neuen Integralgrenzen A und B berechnet werden.
Problem/Ansatz:
Also soweit ich es verstanden habe muss ich die Substitution nachverfolgen. Dafür habe ich nln(x)=sqrt(1+z^2) gesetzt und nach x aufgelöst. sodass x=exp((1+z^2)/2n), jetzt hänge ich aber und weiß nicht was ich damit weitermachen muss. Ich habe versucht das ganze zu integrieren und zu differenzieren um h(x) zu bekommen, jedoch ist bei mir da nix richtiges herausgekommen. Kann mir bitte jemand das ganze erklären?
Für die Integralgrenzen würde ich sobald ich h(z) habe A=h^-1(a) und B=h^-1(b) setzen mit den entsprechenden werten n=7, a=4, b=19.
