> es muss sich doch um irgendeine fläche handeln, da, um die blaue fläche zu berechnen, zwei flächen ( F(b) - F(a) ) abgezogen werden?
F(b) ist ein Flächeninhalt, weil im Ausdruck F(b) - F(a) zwei Flächeninhalte subtrahiert werden? Das ist ein Zirkelschluss.
Bei F(b) kann es sich überhaupt nicht um eine konkrete Fläche handeln. Ist nämlich F0(x) eine Stammfunktion von f(x), dann ist auch Fc(x) := F0(x) + c für jedes c∈ℝ eine Stammfunktion von f(x). Es gilt nämlich Fc'(x) = F0'(x) + 0 = F0'(x) = f(x). Mit anderen Worten, wenn du zu einer Stammfunktion von f(x) eine beliebige Zahl addierst, dann erhältst du wieder eine Stammfunktion von f(x). Welche dieser Stammfunktionen ist jetzt die richtige, um F(b) als die Fläche aufzufassen, die du dir vorstellen möchtest? Antwort: keine; F(b) als Fläche aufzufassen ergibt keinen Sinn.
Andererseits: Sei a eine Nullstelle der Stammfunktion F(x) von f(x). Dann ist F(b) die (orientierte) Fläche unter dem Graphen von f zwischen a und b. Das liegt dran, dass ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) = F(b) - 0 = F(b) ist. Aber was ist, wenn F überhaupt keine Nullstellen hat?