Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f(x)=x^4-2x+3 keinen Wendepunkt besitzt

Question

In meiner Berechnung ergibt sich aber ein Wendepunkt, obwohl wir begründen sollen, dass es keinen gibt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen :-(

Vielen Dank :-)

Aufgabe: Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x⁴ - 2x + 3 keinen Wendepunkt besitzt.

 

Answer 1

An der Stelle eines Wendepunktes ist die zweite Ableiung gleich Null aber die dritte nicht. Für x=0 ist sowohl die zweite als auch die dritte Ableitung gleich Null. Also ist das herangezogene Kriterium hier untauglich. Man könnte jetzt mit einer kleinen Wertetabelle links und rechts der Stelle x=0 den Verlauf des Graphen überprüfen.

Comments

An der Stelle eines Wendepunktes ist die zweite Ableiung gleich Null aber die dritte nicht.
Gegenbeispiel: f(x) = x⁵.

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Ich hätte formulieren müssen: Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist und die dritte nicht, dann liegt mit Sicherheit ein Wendepunkt vor. Im Falle f(x) =x⁵ ist dies Kriterium nicht erfüllt. Dass dennoch ein Wendepunkt vorliegt, weiß man aus anderen Überlegungen.

Answer 2

an einer Wendestelle x  muss  f "(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f " gelten.

f "(x) = 12 x² = 0  ⇔  x = 0  ohne  Vorzeichenwechsel von f " an der Stelle 0.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Laut Definition muss bei der Existenz eines Wendepunktes die zweite Ableitung an der fraglichen wendestelle einen Vorzeichenwechsel vollführen. Da die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wird sie nie vom positiven ins negative oder umgedreht wechseln. Sie ist immer positiv. Daher kann es keine Wendepunkte geben.

Comments

Das ist so aber nicht richtig!

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Natürlich nicht. Deshalb habe ich es ja geschrieben.

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Dann verstehe ich Sinn und Zweck der Antwort nicht!

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Sinn uns Zweck der Antwort auf deinen Einwand ist, dass ich auf stärkerei grundsätzlich nicht eingehe. Da du ja offensichtlich nicht vorhast mich und andere an deiner Weisheit teilhaben zu lassen sondern dich darauf beschränkst andere antworten zu diskreditieren, sehe ich keinen Sinn darin mich darauf einzulassen. Wenn du dich dazu durchringen kannst einen sachlichen Beitrag beizusteuern, kannst du dich ja gerne wieder an mich wenden.

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Ich sehe eigentlich keinen Grund für die Schärfe deiner Replik und ebensowenig für deinen Unmut. Meiner Meinung nach ist die Aussage

(...) Da die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wird sie nie vom positiven ins negative oder umgedreht wechseln. (...)

schlicht falsch und ich hatte erwartet, dass du dies eigentlich auch so siehst. Deswegen habe ich das nur als Hinweis formuliert und nicht weiter begründet.

Falls es aber doch so ist, das ich falsch liege, was durchaus häufiger vorkommt, so bitte ich um Entschuldigung für die Verwirrung und um einen entsprechenden Hinweis.

Deine Antwort wollte ich aber keineswegs diskreditieren!

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@Koffi:

> Da die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, wird sie nie vom positiven ins negative oder umgedreht  wechseln. (...) 

Das trifft für diese quadratische Funktion zu, aber nicht für jede.

Mehr wollte Gastaz0815 wohl nicht anmerken.

[ Dass er kein Stänkerer ist sondern Sinn für Humor hat, ergibt sich schon aus der Wahl seines Nickname :-) ]

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Hallo Wolfgang,

Danke fürs Vermitteln. Ich würde sagen, genau darin liegt das Problem. "Mehr wollte Gast az0815 wohl nicht anmerken". Wir wissen nicht genau was er anmerken wollte, da er es uns ja nicht mitteilt, sondern sich darauf beschränkt zu konstatieren, das gesagte sei falsch. Insofern empfinde ich seinen Einwand als unsachlich und unkonstruktiv.

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Solche "mystischen" Kommentare stören mich ggf. auch. Sie sind aber nicht immer provozierend gemeint. Mein Motto:

Wer etwas zu sagen hat, der sage es jetzt, oder er schweige für immer :-)

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Ich habe mir natürlich die quadratische funktion angesehen bevor ich das geschrieben habe. Vielleicht ist meine Formulierung nicht 100% lupenrein. Mehr ist aus meiner Sicht dazu nicht zu sagen. Danke nochmal für deine Klärung.