Ungleichung mit Betrag und Polynom 2. Grades. | x^2 - 4| ≤ 1 - x/2

Question

Also mit geht es hierbei um eine rechnerische Lösung mittels Fallunterscheidung. Grafisch lässt sich das Problem sehr einfach lösen man erhält eine Punktlösung und ein Intervall. Würde mich freuen wenn mir das einer zeigen könnte, denn meine Fallunterscheidungen ergeben nicht die grafische Lösung.

Answer 1

|x²-4|≤1-x/2 

Fall1:  x² - 4 ≥0  ⇔ x ∈ ] - ∞; -2 ] ∪ [ 2 ; ∞ [

 x² - 4 ≤ 1-x/2   | -1  | + x/2

x² + 1/2·x - 5 ≤ 0

die Parabel hat nach der pq-Formel die Nullstellen x₁ = - 5/2  ;   x₂ = 2

Damit hat die Ungleichung die Lösungsmenge  [ -5/2 ; 2 ]

L₁ = [ -5/2 ; -2 ] ∪ {2}

Fall2:  x ∈ ] - 2 ; 2 [

 -x² + 4 ≤ 1-x/2

-x² + x/2 + 3 ≤  0  | * (-1)

x² - 1/2·x - 3 ≥ 0

die Parabel hat nach der pq-Formel die Nullstellen   x₁ = -3/2 ;   x₂ = 2

Damit hat die Ungleichung die Lösungsmenge  ] - ∞ ; -3/2 [ ∪ ] 2 ; ∞ [

L₂ = [ -2 ; - 3/2 ] 

→  L = L₁ ∪ L₂ = [ -5/2 ; -3/2 ] ∪ {2}

Gruß Wolfgang

Answer 2

|x^2 - 4| ≤ 1 - x/2

Fall x^2 - 4 < 0 bzw. -2 < x < 2

-(x^2 - 4) ≤ 1 - x/2

-x^2 + 4 ≤ 1 - x/2

0 ≤ x^2 - x/2 - 3

x ≤ - 3/2 ∨ x ≥ 2 UND -2 < x < 2 

-2 < x ≤ - 3/2

Fall x^2 - 4 >= 0 bzw. x ≤ -2 ∨ x ≥ 2

...

Willst du den zweiten Fall mal selber probieren ?