Was ist der Konvergenzradius? Beispiel anhand Potenzreihe berechnen

Question

Kann mir bitte jemand ganz mit einfachen worten erklären, was Konvergenzradius ist? Wann man es anwendet und Wie man den berechnet. Ich habe mir schon Scripts, Videos anderen Foren angeschaut und mich durchgegoogle, aber richtig klick hat es nicht gemacht.

Hier habe ich ein Bespiel herausgesucht:

Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-2)^{k} \cdot \frac{x^{k}}{k} \)

Answer 1

Nehmen wir die Potenzreihe, die du als Beispiel ausgesucht hast.

Eine Potenzreihe hat die Form Summe_(n=0) bis (unendlich) a_n (x - x_0)^n.

Bei unserer ist also: a_n = ((-2)^k)/k und x_0 = 0. Wenn du das in die Form einer Potenzreihe (s.o.) einsetzt, wirst du sehen, es wird unsere Reihe rauskommen (naja, der  Laufindex wird anders sein, aber das ist irrelevant...).

Definition:

r = lim_(n --> unendlich) |a_n/a(n+1)|, wobei r den Konvergenzradius bezeichne. Siehe auch hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius

Rechnung:

lim_(n --> unendlich) |(-2)^k/(-2)^{k+1}| = ... Rechne das aus, und wenn der Limes existiert, hast du den Konvergenzradius gefunden.

Comments

Ich beschäftige mich gerade mit dem gleichen Problem.

Ich verstehe nicht ganz wieso man in das Quotientenkriterium für a_n nur (-2)^k einsetzt und nicht (-2)^k*x^k/k .. woher weiß ich das?