Durchschnitt von drei Ebenen im R^3 berechnen. Mit einem Parameter lambda bei E2.

Question

Hallo alle zusammen! Nach langem hin und her rechnen komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Das ist die Aufgabe die uns gegeben wurde: Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3 (

in Abhängigkeit von Lamda)

$$E_{1} = \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\}$$ $$E_{2} = \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} + \lambda x_{2} - 3x_{3} = -13\right\}$$ $$E_{3} = \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} - x_{2} - x_{3} = -1\right\}$$ An dieser Stelle komme ich nicht weiter $$\begin{pmatrix} 1 & \lambda  & -3 & |-13 \\ 0 & (-3-2\lambda ) & 10 & |30 \\ 0 & (-1-\lambda ) & 4 & |12 \end{pmatrix}$$

Ab hier weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll.

Wie bekomme ich jetzt X1, X2, X3 raus ?Wie kann ich die dritte Null bilden ?

 

Ich wäre glücklich wenn ihr mir helfen könntet.

!

 

Comments

Hi,

ich habs jetzt nicht nachgerechnet, aber von Deiner Matrix aus, kann man die letzte Zeile mit -2,5 multiplizieren und dann die letzten beiden Verrechnen. ;)

Grüße

Answer 1

Das Gleichungssystem an der Stelle, an der du nicht weiterkommst, hat die Lösungen x₁=-4; x₂=0; x₃=3, ist also von λ unabhängig. Ich vermute daher, dass hier schon ein Fehler eingebaut wurde. Aber das war nicht deine Frage. Offenbar willst du in der zweiten Spalte eine Null haben, was dir nicht gelingen kann. Du solltest die zweite und die dritte Spalte vertauschen (dann ist die Reihenfolge deiner Unbekannten auch vertauscht, was ja egal ist).

Zur Kontrolle: x₁=35/(3λ+2); x₂=30/(3λ+2); x₃=15(λ+1)/(3λ+2).

Comments

Ich hab jetzt folgendes gemacht

Matrix umgeschrieben

$$\begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2 \\ 0 & -1/2 & -5 & | -15 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix}$$

Danach habe ich X1, X2, X3, X4, berechnet

$$x_{1} =  47 + 13\mu$$$$x_{2} =  30 - 10\mu$$$$x_{3} =  \mu$$

diesen Weg finde ich für mich verständlicher.

Darf man das so auch machen ?

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Leider kann ich nicht nachvollziehen, was hier geschehen ist. λ kommt in der umgeschriebenen Matrix nicht mehr vor. Da ein μ in der Lösng auftaucht, vermute ich dass λ durch μ substituiert wurde. Aber auch μ taucht in der umgeschriebenen Matrix nicht auf.  Auch verstehe ich nicht, wo x4 auf einmal herkommt. ("Danach habe ich X1, X2, X3, X4, berechnet").

Answer 2

In der 3. Zeile der Matrix ist was falsch.

Die 4 muss wohl eine 2 sein.

Dann nimmst du die 3. Zeile mal -5 und addierst das zu der 2.

das gibt   (mit L statt Lambda)

1    L               -3         -13
0    2+3L          0         - 30
0    - 1 -L         2           12

und dann beginnst du mit der 2. Zeile und

einer Fallunterscheidung:  Für L = - 2 / 3 

gibt es keine Lösung. 

Ansonsten aber   x2 = -30 / ( 2+3a) 

Das in die 3. eingesetzt gibt gibt x3 = (3a - 3) / ( 3a +2 )

und oben dann  x1 = -35 / ( 2+3a)