Rang der Matrix bestimmen im R^4

Question

Unser Prof. hat uns folgende Aufgabe gegeben:

Berechnen Sie den Rang folgender Matrizen in Abhängigkeit von Lamda.

$$\begin{pmatrix} 3 & 0  & 2  & 0 \\ 0 & 1 & \lambda  & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Ich habe soweit gerechnet und habe das raus.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0  & \frac{2}{3}  & 0 \\ 0 & 1 & \lambda  & 2 \\ 0 & 0 & -3\lambda  & 6\\ 0 & 0 & 0 & (2+8\lambda ) \end{pmatrix}  $$

Wie muss ich hier weiterrechnen ?

Habe ich überhaupt soweit richtig gerechnet?

Welche Schritte muss ich machen um eine Komplette Nullzeile zu bekommen ?

Oder kann man schon sagen dass diese Matrix den Rang 4 hat ?

Comments

Da steht  "Rang folgender Matrizen in Abhängigkeit von Lambda. "

D.h. du musst mit einer Fallunterscheidung rechnen und sollst dann ein Resultat haben, wie

für lambda Element  R \ { Spezialfälle} ist der Rang 4.

Dann noch die Spezialfälle einzeln untersuchen. 

Wenn deine Rechnung stimmt, ist der Rang im Fall lambda = -1/4  nicht 4 sondern 3. 

Auch den Fall lambda = 0 ist ein Spezialfall, den du separat anschauen musst. 

Für die restlichen Werte von lambda könnte dann der Rang 4 passen. 

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Jaa stimmt  dann bildet sich eine Nullzeile.. Und somit wird der Rang 3.Ich habe das kurz mit anderen Lambdas durchprobiert.und da kommt immer 0 = 10 raus oder 0=2 raus. also heißt es dass es für alle anderen Lamdas keine Lösung gibt.Und damit bin ich dann fertig oder?

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Die ursprüngliche Matrix hat bereit den Rang 4, unabhängig von Lambda. Bei deiner Matrix ist das nicht so, sie muss also falsch sein.

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juraa636: Rechne mal von Anfang an so, wie oswald das vorschlägt und schaue dann, ob die Spezialfälle weg sind.

Answer 1

Der Rang ist 4.

Subtrahiere vom dreifchen der dritten Zeile das doppelte der zweiten Zeile.

Subtrahiere vom zweifachen der zweiten Zeile die vierte Zeile.

Addiere zur zweiten Zeile das 3λ-fache der dritten Zeile.

Comments

also ich habe das jetzt so gemacht wie du es mir gesagt hast Oswald :und das sieht bei mir so aus...$$II=(II*2)-IV$$$$IIIII=(III*3)-(II*2)$$$$II=II+(3\lambda*III)  $$$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2/3 & 0 \\ 0 & (2-6\lambda ) & (2\lambda -33\lambda ^{ 2 }) & (-2+50\lambda ) \\ 0 & -2 & -11\lambda  & 14 \\ 0 & 0 & 0 & (2+8\lambda ) \end{pmatrix}$$habe ich hier alles richtig gemacht ?Wie es aussieht nein... für mich ist es immernoch Lambda abhängig :-)

Answer 2

als erstes würde ich testen ob sie Vollrang hat, mithilfe der Determinante. Da einige Nullen drin sind kann man ganz gut entwickeln.

Ergebnis: Det A=4≠0 ---> Vollrang

Answer 3

Hier mal drei Schritte für den Anfang:

(1) Tausche die erste mit der dritten Zeile!

(2) Ersetze die dritte Zeile durch das dreifache der dritten Zeile minus dem zweifachen der ersten Zeile.

(3) Subtrahiere das lambda-fache der dritten Zeile von der zweiten Zeile.

Die Matrix sollte nun parameterfrei sein, der oder die letzten Schritte sind dann trivial und es ist offensichtlich, dass der Rang 4 sein muss.