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Ich hätte zu einer Aufgabe mal eine Frage. Und zwar habe ich es bis jetzt immer so beigebracht bekommen, dass man die Basis einer Matrix durch die Zeilenstufenform bekommt.

So, jetzt sollte hierfür die Basis ausgerechnet werden:

\( U=\left\langle\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)\right\rangle \subset \mathbb{R}^{4} \)

ich verstehe allerdings nicht, wie in der Lösung jetzt vorgegangen wurde:

a) Wir schreiben die sechs Vektoren als Zeilen in eine Matrix A und wenden auf diese den Gauß-Algorithmus an, um eine Zeilenstufenform zu erhalten. Die Nichtnullzeilen dieser Zeilenstufenform bilden dann eine Basis von \( U \) und ihre Anzahl (rang(A)) ist demnach die Dimension des Untervektorraumes.

\( \left(\begin{array}{llll}{1} & {1} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {1}\end{array}\right) \quad \rightarrow \quad\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {1}\end{array}\right) \quad \rightarrow \quad\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {1}\end{array}\right) \)

\( \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right) \quad \rightarrow \quad\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)

(Hier wurde im ersten Schritt die dritte Zeile nach oben geschrieben und von der ersten und zweiten subtrahiert; im zweiten Schritt wurde die fünfte Zeile als nun zweite gewählt und von der zweiten und vierten subtrahiert; im dritten Schritt wurde die dritte Zeile mit \( -\frac{1}{2} \) multipliziert und dann damit die ganze vierte Spalte ausgeräumt.) Als Exgebnis erhalten wir als Basis von \( \bar{U} \)

$$ \left\{\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right)\right\} $$
die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{4}, \) und die Dimension \( \operatorname{dim}(U)=4 \) (also \( U=\mathbb{R}^{4} \) ).


Gibt es nun einen bestimmten Grund, weswegen man sich dazu entschieden hat die sechs Vektoren als Zeilen aufzuschreiben und dann davon die Zeilenstufenform zu erhalten?

Freue mich über eure Antworten!

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2 Antworten

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Beste Antwort

Kleiner Tipp. Schreib doch die Vektoren als Spalten auf und wende das Zeilenstufenverfahren an. Fallen jetzt Zeilen weg.

Du kannst viel Lernen, wenn du einfach mal etwas probierst was du dir denkst. Und es ist nicht schlimm wenn man auch mal etwas probiert was in die Sackgasse führt. Meist sind es solche Erlebnisse an denen man am meisten lernt.

Glaubst du der liebe Gauss hat nie einen Fehler gemacht und alles immer gleich perfekt niedergeschrieben?

Das war mit Sicherheit nicht so.

Avatar von 487 k 🚀

In Ordnung, also im Prinzip muss ich nur schauen, ob die Zeilenstufenform mit den Vektoren als Spalten funktioniert oder nicht. Ich habe es nun ausprobiert, der Rang davon ist nun immer noch vier, die Dimension dagegen ist sechs (was natürlich nicht sein kann).

Und aus diesem gescheiterten Versuch hat man sich nun entschlossen die Vektoren sich also zunächst als Zeilen aufzuschreiben, weil da eben Zeilen wegfallen.

Hab ich es so richtig verstanden?

Nehmen wir die 3 Vektoren [1,0,0] , [0,1,0] und [1,1,0]

Eigentlich möchte ich zeigen das [1,1,0] eine Linearkombination der anderen beiden ist. Dann schreibe ich die Vektoren Zeilenweise untereinander.

[1,0,0]
[0,1,0]
[1,1,0]

Ich rechne III - I - II

[1,0,0]
[0,1,0]
[0,0,0]

Weil jetzt die 3. Zeile eine Nullzeile ist kann ich den dritten Vektor darstellen als I + II, eben weil ich die Vorher abgezogen habe.

Also alle Nullzeilen waren Vektoren die ich aus einer Linearkombination darstellen konnte, weil ich andere abgezogen habe.

Hätte ich die Vektoren spaltenweise nebeneinander geschrieben

[1,0,1]
[0,1,1]
[0,0,0]

Dann wäre das eher die Form in der man Gleichungssysteme löst. Grundsätzlich funktioniert das auch. Aber das erste Verfahren ist schöner wenn man Zeilen streichen kann.

Ok, also meinst du ich soll die Vektoren generell lieber als Zeilen schreiben, wenn ich am Ende unabhängige Vektoren erhalten möchte (und somit eine Basis)?

Ja.

Das spaltenweise Verfahren hat natürlich auch Vorteile. Das erlaubt dir zu sagen auf welche weise die abhängigen Vektoren erzeugt werden können.

wenn es darum geht dann bietet sich das zweite an. Aber das ist meist eher nicht der Fall, also kannst du sie meist zeilenweise schreiben.

Oh wow! Ok vielen lieben Dank, werde ich mir schnell aufnotieren. :)

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Du hast einen Unterraum des \( \Bbb R^4 \), d.h. 2 Vektoren sind mind. überflüssig (aber welche?).

Du kann die Vektoren als Zeilen oder Spalten zu einer Matrix bilden, und wegen Spaltenrang = Zeilenrang ist das eigentlich auch egal, aber fast alle Regeln beziehen sich auf Spaltenvektoren, also gewöhne Dir das an. Der Rang kann somit max. 4 sein, 2 Vektoren sind überflüssig.

Bestimme dann den Rang; der gibt Dir die Dimension und damit die Anzahl unabhängiger Vektoren an.

Suche Dir aus den gegebenen entsprechend viele aus und beweise deren Unabängigkeit.

Hinweis: Wenn Dein Rang hier 4, also maximal, ist, kannst Du natürlich auch die Standardbasis nehmen. Mache es trotzdem nicht, sondern wähle 4 unabhängige aus den gegebenen aus. Wenn der Rang nämlich kleiner als maximal ist, bekommst Du sonst echte Probleme.

Grüße,

M.B.

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