Basis eines Lösungsraumes einer Matrix

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Basis B des zugehörigen Lösungsraumes an.

L0={x∈ℚ5∣Ax=0}

Die Matrix lautet:

1	7	0	0	0
0	0	1	0	5
0	0	0	1	6

Problemansatz hab ich keinen.

Answer 1

Aloha :)

Du bist eigentlich fertig. Stelle die Gleichungen nach den extrahierten Variablen um:$$\begin{array}{rrrrr|r}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & =\\\hline\pink1 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \pink1 & 0 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & \pink1 & 6 & 0\end{array}\implies\begin{array}{c}\pink1x_1+7x_2=0\\\pink 1x_3+5x_5=0\\\pink 1x_4+6x_5=0\end{array}\implies\begin{array}{c}x_1=-7x_2\\x_3=-5x_5\\x_4=-6x_5\end{array}$$und schreibe die Lösungsvektoren explizit auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7x_2\\x_2\\-5x_5\\-6x_5\\x_5\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-7\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}0\\0\\-5\\-6\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

1 7 0 0 0
0 0 1 0 5
0 0 0 1 6

Also x₅ frei wählbar, etwa x₅=t

Dann gibt 0 0 0 1 6

die Gleichung x₄=-6x₅=-6t.

x₃=-5x₅=-5t

x₂ frei wählbar etwa x₂=s .

Und x₁= -7s

==>   \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -7s\\s\\-5t\\-6t\\t \end{pmatrix} =s \begin{pmatrix} -7\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\0\\-5\\-6\\1 \end{pmatrix} \)

Basis also   \( ( \begin{pmatrix} -7\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\-5\\-6\\1 \end{pmatrix}  ) \)