Ich muss die Ableitungen einer Basis des Lösungsraumes berechnen? Wer kann mir helfen

Question

Eine Basis des Lösungsraums der Differentialgleichung y" - 2y' + 2y = 0 lautet: y1 (x) = e^x sin (x), y2 (x) = e^x cos (x). Berechnen Sie für i = 1,2 jeweils die ersten Ableitungen von yi(x)

Lg

Answer 1

$$y_1'(x)=(e^x)' \cdot \sin x+ e^x \cdot (\sin x)'=e^x \sin x+e^x \cos x=e^x(\sin x+ \cos x)$$


Kannst du versuchen das y₂' zu berechnen?

Comments

Ja kann ich

Aber dafür hätte ich noch eine einzige Frage weil ich gerade mid einer Studienkollegin davor sitze aber auf keinen grünen Zweig komme

Eine spezielle Lösung von y"-2y+2y=0 ist also eine Linearkombination der yi(x). Bestimmen Sie die spezielle Lösung mit den Anfangswerten y(0) = 0, y' (0) = 2

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Du findest die Lösungen indem du das charakteristische Polynom $$\lambda^2-2 \lambda+2=0$$ löst.

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Du findest die Lösungen indem du das charakteristische Polynom $$\lambda^2-2 \lambda+2=0$$ löst.


Oder hast du eine andere Frage?

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Mich irritiert was ich mit den Anfangswerten machen muss

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Die generelle Lösung wird folgende sein:

$$y(x)=c_1 y_1(x)+ c_2y_2(x)$$


$$y(0)=0 \Rightarrow c_1y_1(0)+c_2y_2(0)=0 \Rightarrow  c_2=0$$

da:

 
$$y_1(0)=e^0 \sin 0=0$$

$$y_2(0)=e^0 \cos 0=1$$

Also:

$$y(x)=c_1  y_1(x)$$

$$y'(x)=c_1 y_1'(x)=c_1(e^x \sin x+ e^x \cos x)$$

$$y'(0)=2 \Rightarrow c_1=2$$

Also mit den  Anfangswerten berechnet man die Konstanten c₁ und c_2.

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versteh ich leider gar ned

woher kommt des c?

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Die generelle Lösung ist:

$$y(x)=c_1 y_1(x) +c_2 y_2(x)$$

Um c₁, c₂  zu finden benutzt man die Anfangswerte y(0)=0, y'(0)=2.

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Hast du es jetzt verstanden?