Vielen dank :)
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\( f(\vec{x})=\left(\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{2}+x_{3}+x_{4} \end{array}\right)=x_{1}^{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)}+x_{2}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)+x_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)+x_{4}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)}_{=M}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \)
Wir geben direkt die Basis von \( U \) an, indem wir die beiden Bedingungsgleichungen:
\( x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \wedge x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \)
nach \( x_{1} \) bzw. \( x_{4} \) umstellen:
\( x_{1}=-x_{2}-x_{3} \quad \wedge \quad x_{4}=-x_{2}-x_{3} \)
und alle passenden Vektoren \( \vec{x} \) angeben:
\( \vec{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -x_{2}-x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ -x_{2}-x_{3} \end{array}\right)=x_{2}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+x_{3}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)
Die beiden Basisvektoren zeigen uns, dass alle Vektoren \( \vec{x} \) innerhalb einer zweidimensionalen Hyperebene liegen und daher einen Unterraum bilden.
Mir sind nur noch die narkierten stellen unklar, also wie genau kommt man auf die zahlen?
Und könnte man theoretisch auch zb nach x3 und x2 auflösen?