Basis und Kern einer Matrix

Question

Aufgabe:

A = \( \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 4 & 4 & -2 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie Kern(A) sowie eine Basis von Kern(A)

Problem/Ansatz:

Offensichtlicher Weise ist hier etwas zu erkennen

Spalte 1. und Spalte 5. sind identisch

und Spalte 3. und 4. sind auch fast identisch

Bitte sagt mir ob ich richtig oder falsch liege:

1. Ich darf die 5. Spalte weglassen, da sie identisch zur ersten ist

2.Ich darf die 4te Spalte auslassen da sie identisch ist zur 3ten

3. die 3te Spalte ist ein vielfaches der ersten also kann ich die 3te Spalte auslassen

4.Die erste Spalte bleibt übrig also ist Sie der Kern(A) und die Basis von (A)

Answer 1

A ist Abbildungsmatrix einer Abbildung von K⁵ nach K³ (dabei ist K der Körper, ich vermute K = ℚ oder K = ℝ).

Ich darf die 5. Spalte weglassen, da sie identisch zur ersten ist

Dann hast du eine Abbildungsmatrix einer Abbildung von K⁴ nach K³. Du darfst die Spalte nicht weglassen.

Ich darf die 4te Spalte auslassen da sie identisch ist zur 3ten

Sie ist nicht identisch zur dritten. Außerdem gilt bezüglich Auslassen das gleiche wie oben.

die 3te Spalte ist ein vielfaches der ersten also kann ich die 3te Spalte auslassen

Die 3te Spalte ist kein Vielfaches der ersten, weil -2 ≠ k·0 für jedes k∈K ist.

Die erste Spalte bleibt übrig also ist Sie der Kern(A)

Kerne sind Untervektorräume (in diesem Fall von K⁵). die erste Spalte ist kein Untervektorraum.

\(\mathrm{Kern}(A) = \left\{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}\in K^5\, |\, A\cdot\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\right\}\).

Bestimme also die Lösung des Gleichungssystems \(A\cdot\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\)