Wie berechnet man Basis einer Matrix?

Question

Aufgabe:

Frage:

a) Wie kommen die in der Lösung auf diese Zahlen in der Matrix ?

b) Wie berechnet man die Basis? Bin da etwas verwirrt..

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Zu a) Man macht den Ansatz

$$ \begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax_1+bx_2+cx_3+dx_4\\ex_1+fx_2+gx_3+hx_4\end{pmatrix} $$

Und vergleicht dann die Koeffizienten der \( x_i\) mit denen im gewünschten Ergebnis:

$$ \begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\x_2+x_3+x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1x_1+1x_2+1x_3+0x_4\\0x_1+1x_2+1x_3+1x_4\end{pmatrix} $$

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Also kann man theoretisch irgendwelche positive zahlen bzw. Nullen einsetzten?

Answer 1

Aloha :)$$f(\vec x)=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\x_2+x_3+x_4\end{pmatrix}=x_1\binom{1}{0}+x_2\binom{1}{1}+x_3\binom{1}{1}+x_4\binom{0}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{=M}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$$

Wir geben direkt die Basis von \(U\) an, indem wir die beiden Bedingungsgleichungen:$$x_1+x_2+x_3=0\quad\land\quad x_2+x_3+x_4=0$$nach \(x_1\) bzw. \(x_4\) umstellen:$$x_1=-x_2-x_3\quad\land\quad x_4=-x_2-x_3$$und alle passenden Vektoren \(\vec x\) angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2-x_3\\x_2\\x_3\\-x_2-x_3\end{pmatrix}=x_2\left(\begin{array}{r}-1\\1\\0\\-1\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{r}-1\\0\\1\\-1\end{array}\right)$$Die beiden Basisvektoren zeigen uns, dass alle Vektoren \(\vec x\) innerhalb einer zwei-dimensionalen Hyperebene liegen und daher einen Unterraum bilden.

Comments

Vielen dank :)

Text erkannt:

\( f(\vec{x})=\left(\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{2}+x_{3}+x_{4} \end{array}\right)=x_{1}^{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)}+x_{2}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)+x_{3}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)+x_{4}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)}_{=M}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \)
Wir geben direkt die Basis von \( U \) an, indem wir die beiden Bedingungsgleichungen:
\( x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \wedge x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \)
nach \( x_{1} \) bzw. \( x_{4} \) umstellen:
\( x_{1}=-x_{2}-x_{3} \quad \wedge \quad x_{4}=-x_{2}-x_{3} \)
und alle passenden Vektoren \( \vec{x} \) angeben:
\( \vec{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -x_{2}-x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ -x_{2}-x_{3} \end{array}\right)=x_{2}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+x_{3}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)
Die beiden Basisvektoren zeigen uns, dass alle Vektoren \( \vec{x} \) innerhalb einer zweidimensionalen Hyperebene liegen und daher einen Unterraum bilden.

Mir sind nur noch die narkierten stellen unklar, also wie genau kommt man auf die zahlen?

Und könnte man theoretisch auch zb nach x3 und x2 auflösen?

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Ich bau mal Zwischenschritte ein, dann wirds dir klar:$$\phantom=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\x_2+x_3+x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{x_1}+\green{x_2}+\pink{x_3}+\blue{0}\;\;\;\\\red{0}+\green{x_2}+\pink{x_3}+\blue{x_4}\end{pmatrix}$$$$=\binom{\red{x_1}}{\red0}+\binom{\green{x_2}}{\green{x_2}}+\binom{\pink{x_3}}{\pink{x_3}}+\binom{\blue0}{\blue{x_4}}=\red{x_1}\binom{1}{0}+\green{x_2}\binom{1}{1}+\pink{x_3}\binom{1}{1}+\blue{x_4}\binom{0}{1}$$

$$\begin{pmatrix}-x_2-x_3\\x_2\\x_3\\-x_2-x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{-x_2}\green{-x_3}\\\red{x_2}\green{+0}\\\red{0+}\green{x_3}\\\red{-x_2}\green{-x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{-x_2}\\\red{x_2}\\\red{0}\\\red{-x_2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\green{-x_3}\\\green{0}\\\green{x_3}\\\green{-x_3}\end{pmatrix}=\red{x_2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}+\green{x_3}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}$$