Wie löse ich die folgende Differentialgleichung? xy´=y-2x-xe^{y/x}

Question

Wie genau löst man die unten stehende Differentialgleichung?

Danke vorab :-)

xy´=y-2x-xe^{y/3}

Comments

war das bei dem e hoch ... vielleicht ein x statt y ???

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Oh tut mir leid, dies war ein tippfehler. Es soll xy´=y-2x-xe^{y/x} heißen. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Dividiere die DGL zuerst durch x

y '= y/x -2 -e^{y/x}

Substituiere:

z=y/x

y=z x

y '= z+z ' x

eingesetzt:

z+ z 'x= z-2 -e^z |-z

 z 'x= -2 - e^z

dz/dx *x= -2 - e^z

dz/(-2 -e^z) =dx/x

1/2 ln(2 e^{-z} +1)= ln|x| +C₁

--------->umstellen nach z und Resubstitution liefern:

y= x *ln ( 2/(C₁ *x^2 -1))

Comments

super Danke:-)

Doch eine Frage: Was bedeutet nach den C der Unterstrich "_" ?

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Was bedeutet nach den C der Unterstrich "_" ? Nichts weiter, die 1 sollte nur tiefer stehen C_1,

das meinte ich

_:-)

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Also erst einmal es ist wirklich super verständlich, aber den letzten Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Könntest du mir den genauer erklären?

Ps.: Danke für deine Mühe :-)

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ab wo genau?

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wie man von 1/2 ln(2 e^-z +1)= ln|x| +C auf das Endergebnis y= x *ln ( 2/(C₁ *x² -1)) kommt.

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1/2 ln(2 e^-z +1)= ln|x| +C₁     | *2

 ln(2 e^-z +1)= 2(ln|x| +C₁ ) | e hoch

 2 e^-z +1= e^{2(ln|x| +C₁ )}

2 e^-z +1= e^{2(ln|x|) } *e^{C}

e^{C} =C₁

2 e^-z +1= C₁ *x²

2 e^-z = C₁ *x² -1

 e^-z = (C₁ *x² -1)/2

_{------->Kehrwert}

_-------->

_{e^z  =} 2_/ (C₁ *x² -1) |ln(..)

z= ln (2_/ (C₁ *x² -1))

Resubstitution:

z=y/x = ln (2_/ (C₁ *x² -1))

y= x *ln (2_/ (C₁ *x² -1))