Hallo Akas,
Der Ansatz ist \(y=p(x)\cdot e^{-2x}\). Ableiten nach der Produktregel ergibt
$$y\prime=p\prime(x) \cdot e^{-2x} + p(x)\cdot \left( -2 e^{-2x}\right)\\\space=p\prime(x) \cdot e^{-2x} - 2p(x)\cdot e^{-2x}\\ \space=\left( p\prime(x) - 2p(x)\right)e^{-2x}$$
wieder Ableiten nach der Produktregel
$$y\prime\prime=\left( p\prime\prime(x) - 2p\prime(x)\right)e^{-2x}+\left( p\prime(x) - 2p(x)\right)(-2)e^{-2x} \\ \space= \left( p\prime\prime(x) - 2p\prime(x) - 2p\prime(x) +4p(x)\right)e^{-2x}$$
$$\space=\left( p\prime\prime(x) - 4p\prime(x) +4p(x)\right)e^{-2x}$$
Du schriebst. "Und wie kommst du am Ende auf die 1/6."
Wie man zu \(p\prime\prime(x)=x\) kommt, sollte klar sein. Anschließend wird integriert
$$p\prime(x) = \int p\prime\prime(x) dx=\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C$$
und weiter
$$p(x)= \int p\prime(x)dx=\int \frac{1}{2}x^2 + C dx\\ \space=\frac{1}{2}\int x^2dx + \int Cdx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x^3+C_2\right)+ Cx+C_3$$
die Konstanten kann man zusammen fassen
$$p(x)=\frac{1}{6}x^3+Cx+C_3$$
.. wie Du siehst habe ich die Konstante am Schluss bei meiner Lösung noch vergessen.
Das 'drauf kommen' auf einen passenden Ansatzes ist analytisch kaum möglich, sondern eine Heuristik. D.h. man kennt bestimmte Typen von Störfunktionen mit dazu passenden Ansätzen genau wie es unter http://www.math.uni-bremen.de/~cschael/Paper/%5B02%5Dinhomogene_Differentialgleichungen.pdf in Tabelle 2 gezeigt ist. Wenn man auf eine Störfunktion trifft, die dort nicht enthalten ist bzw. nicht bekannt ist, so hilft 'intelligentes Probieren' (O-Ton meines ehemaligen Mathe-Profs)
Anders sind diese Tabellen auch nicht entstanden!
Gruß Werner
