Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene... |z+1+i| >= |z-2-i|

Question

Jo

wie geht das?

Ich weiß, dass ich für z, √(z+y)² einsetzen muss aber sonnst keine Ahnung... normale weiße macht man ja auch noch Fallunterscheidung also wegen den Beträgen einmal jeweils mit + dann mit -(...)

mfg

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Die Skizze sollte so aussehen aber ich habe kein Lösungsweg, wie es schriftlich geht

Answer 1

|z+1+i| >= |z-2-i|

|z- (-1-i)| ≥ |z-(2+i)|

Abstand von A= (-1-i) ist grösser oder gleich Abstand von B= 2+i .

Das ergibt für die z die Halbebene die durch die Mittelsenkrechte der Strecke AB begrenzt wird und in der sich B befindet. 

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aso ok also eine senkrecht zu dieser und alles drüber ist dann die menge, da sich B dort befindet... danke dir 

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So: und wieso genau tuh ich jetzt alles drüber nehmen? (über der schwarzen gerade?)

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|z- (-1-i)| ≥ |z-(2+i)| 

Mach eine Punktprobe: Wähle einen Punkt oberhalb der Geraden und schaue, ob die Ungleichung erfüllt ist. Am einfachsten ist es, 

wenn du z=B= 2+i wählst, gilt

| 2+i - (-1 -i) | ≥ | 2+i - (2+i) | = | 0 | = 0 

Da links ein Betrag ist, ist die Ungleichung in z=B=2+i erfüllt. Das genügt, um zu entscheiden, welche Halbebene du nun markieren musst. 

Answer 2

|a + b·i + 1 + i| ≥ |a + b·i - 2 - i|

|a + b·i + 1 + i|^2 ≥ |a + b·i - 2 - i|^2

|(a + 1) + (b + 1)·i|^2 ≥ |(a - 2) + (b - 1)·i|^2

(a + 1)^2 + (b + 1)^2 ≥ (a - 2)^2 + (b - 1)^2

a^2 + 2·a + 1 + b^2 + 2·b + 1 ≥ a^2 - 4·a + 4 + b^2 - 2·b + 1

6·a + 4·b - 3 ≥ 0

b ≥ 0.75 - 1.5·a

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was meinst du mit abs? und du hast oben irgendwo die -2 ignoriert deswgen kommt glaub ich 1/4 raus aber sollte eigentlich 3/4 sein lieg ich da richtig?

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ABS ist der Betrag, also

ABS(x) = |x|

Ich habe oben mal die -2 eingefügt, die ich vergessen hatte.

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nochmal ganz kurz ... wie kommt das hier zu Stande:

|(a + b·i + 1 + i)|² ≥ |(a + b·i - 2 - i)|²  <=>

(a + 1)² + (b + 1)² ≥ (a - 2)² + (b - 1)²

^{das passt zu keiner Rechenregel die ich kenne...} 

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Gilt nicht 

|a + b·i| = √(a^2 + b^2)

|a + b·i|^2 = a^2 + b^2

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das ist richtig... aber wie kommst du darauf dass man a und b aufteilt und was passiert mit 1+i? 

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Na, dann kennst du doch eine Rechenregel die passt.

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könntest du mir eventuell die Zwischenschritte kurz aufschreiben, damit ichs einzeln durchgehen kann... die Rechenregeln kann ich schon aber ich sehe das jetzt nicht direkt auf einen Blick... wenn dus mir aufschreibst, könnte ich s in Ruhe durchgehen und verstehen.

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Vielleicht hilft schon folgendes dir auf die Sprünge:

ABS(a + b·i + 1 + i)^2 ≥ ABS(a + b·i - 2 - i)^2

ABS((a + 1) + (b + 1)·i)^2 ≥ ABS((a - 2) + (b - 1)·i)^2

Oben in der Rechnung war noch ein kleinerer Rechenfehler drin. Ich habe den auch noch korrigiert.

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ja klar jetzt verstehe ich was du gemacht hast... aber bei dir ist i auf einmal ganz weg und du hast an ein paar stellen dadurch n VZ Fehler denn Re sollte 3/4 sein und Im 1/2... aber im Grunde hab ichs verstanden vielen dank ! :) 

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Erinnere dich an

|a + b·i| = √(a² + b²) 

Da ist das i ja auch plötzlich weg.

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stimmt vergessen