Pi/2 ist cosinus, aber warum

Question

ich verstehe nicht warum PI/2 cosinus sind? Pi ist doch eine konstante oder? kann mir das jemand verständlich erklären bitte?

Answer 1

pi/2 ist eine Kostante und Kosinus ist eine Funktion.

Also sind die beiden garantiert nicht gleich ?

Vielleicht erklärst du wo das stand und in welchem Fall das behauptet wird.

Vielleicht meinte der Betreffende pi/2 ist eine Nullstelle vom Kosinus.

Answer 2

Schon die Frage an sich ist inkompatibel. So als wenn man fragen würde,

"...warum 5 Wurzel sind..."

Das Weglassen der Klammer ist absolut unzulässig, da man wissen muss, was an die Funktion übergeben werden soll!

cos(x) ist nichts weiter als eine verschobene sin(x) Funktion (Menschen sind schreibfaul, daher ein neuer Name, der eigentlich überflüssig ist):

cos(x)=sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)=1-2*sin(x/2)²

Und wenn man sich die rot markierte Funktion ansieht, erkennt man sofort eine Nullstelle bei x=Pi/2.

Folgende Aussagen sind also gültig:

cos(Pi/2)=0

oder mit der Umkehrfunktion:

acos(0)=Pi/2

mehr Sonderfälle unter:

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Comments

"(Menschen sind schreibfaul, daher ein neuer Name, der eigentlich überflüssig ist)"

betrachtet man Winkelfunktionen nicht analytisch, sondern geometrisch über ein rechtwinkliges Dreieck, so hat dieses 6 Seitenverhältnisse: a/b, a/c, b/a, b/c, c/a, c/b und damit die 6 Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secas, Cosecans, die erst einmal alle existieren und gültig sind. Dass hier einige durch andere ersetzt werden können ergibt sich automatisch, so sind z.B. 3 davon die Kehrwerte der anderen 3.

Zu den 6 Funktionen der Ebene gibt es 6 Umkehrfunktionen, dann nochmals 6 Funktionen und 6 Umkehrfunktionen auf gekrümmten Flächen, zusammen haben wir 24 Winkelfunktionen (die allerdings mit schöner Regelmäßigkeit und zum andauernden Ärgernis weitgehend ignoriert werden).

Betrachtet man ein rechtwinkiges Dreieck und seinen Umkreis und waagrechte und senkrechte Tangenten und die Radiusgerade, so ergeben alle 6 Funktionen auch eindeutig definierte Streckenlängen, und dann kannst Du nicht mehr so einfach sagen, dass einige davon überflüssig sind.

Betrachtest Du die Winkelfunktionen von analytischen her, so solltest Du wissen, dass der Cosinus weit wichtiger als der Sinus ist.

Grüße,

M.B.

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"weit wichtiger..." ???

Also ich habe schon oft zig 1000 Stellen von kleinen Winkeln berechnet, und da ist es total egal ob man

cos(x)=hyg0F1(1/2, -x²/4)

=Summe ((-1)^k x^{2 k})/((2 k)!), k=0...∞

oder

sin(x)=x*hyg0F1(3/2, -x²/4)

= Summe ((-1)^k x^{1+2 k})/((1+2 k)!), k=0...∞

rechnet.

Hinweis: hyg0F1(x,y) ist hypergeometrische Funktion...

Was soll da bitte "wichtiger " sein? Das interessiert mich jetzt mal?

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Zitat: "Die unfähigsten Mathematiker sind die, die jedes Ergebnis auf 10 Stellen ausrechnen wollen."

Der Sinus hat die (nur für Physiker und Techniker) schöne Eigenschaft, dass er durch den Ursprung geht, d.h. zur Zeit 0 die Auslenkung 0 hat.

Der Kosinus hat z.B. die viel wichtigere Eigenschaft, in [0;pi] streng monoton zu sein. Dieses ist wichtig bei vielen Berechnungen oder Umrechnungen von Kurven / Integralen / Wegen / etc., weil eine gegebene Funktion, die mit einer anderen Funktion verknüpft werden muss, fast alle ihre Eigenschaften verliert, wenn die (strenge) Monotonie bei der anderen Funktion fehlt.

Grüße,

M.B.

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Diesen mittelalterlichen Spruch kenne ich. Habe aber schon oft genug gezeigt, dass manchmal viele Stellen wichtig sind

https://www.mathelounge.de/209003/zahlentheorie-dezimalstellen-primfaktoren-zusammengesetzt

(da reichten nicht mal 136 Nachkommastellen)

Mir ging es aber nicht um die Stellen, sondern um Konvergenzgeschwindigkeit und die viel universellere hypergeometrische Funktion -> das sind nur 2 unterschiedliche Parameter der selben Funktion!

Die "strenge Monotonie" verschiebt das ganze nur in die Richtung, welches Intervall wichtiger ist...

Und in der Informatik (Programmen) wird meist die cos-Funktion per Verschiebung der "wichtigeren" sin-Funktion realisiert.