Rektifizierbarkeit einer Funktion zeigen

Question

Sei g:[0,1] --> R^2 definiert durch

g(t) = (0,0), falls t=0

          t, t*cos(π/2),    falls t≠0

Zeige, dass g nicht rektifizierter ist.

Mir ist bisher noch nicht ganz klar, wie ich an eine solche Aufgabe rangehen kann. Muss ich die Funktion zuerst ableiten? Oder muss ich versuchen eine Abschätzung wie bei Minoranten- bzw. Majorantenkriterium zu finden und sehen, ob das ganze divergiert, woraus folgen würde, dass ich gar keine Ableitung brauche?

Answer 1

Es ist cos(π/2) = 0. Deshalb ist g(t) = (t,0) für alle t ∈[0,1]. g ist also rektifizierbar wegen

    ∑_i=0..k-1|(t_i,0) - (t_i+1,0)|

    = ∑_i=0..k-1(t_i+1 - t_i)

    = t_k - t₀

    = 1 - 0

    = 1

für alle 0=t₀ < t₁ < ... < t_k = 1.

> Mir ist bisher noch nicht ganz klar, wie ich an eine solche Aufgabe rangehen kann.

Definition von Rektifizierbareit auskramen und anwenden.

Comments

Danke erstmal. Also die Ableitung brauche ich hier gar nicht?

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Nein, die brauchst du nicht. Was mich allerdings ein wenig wundert ist: es soll gezeigt werden, dass die Kurve nicht rektifizierter ist, die Kurve ist aber rektifizierbar. Das ist untypisch für Professoren und sonstige Autoren von Aufgaben.

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Okay, danke für deine Hilfe! Dann habe ich es jetzt verstanden.

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Wenn du die Ableitung unbedingt verwenden möchtest, dann könntest du natürlich einfach argumentieren, dass die Kurve rektifizierbar ist, weil sie stetig differenzierbar ist. Nachteil dieser Argumentation ist, dass sie mehr Vorwissen benötigt und die Länge der Kurve nicht liefert. Vorteil ist, dass sie wesentlich kürzer ist.