Gleichungen der Lemniskate

Question

Wie zeigt man, dass folgendes gilt?

{(x,y) ∈ℝ² : (x²+y²)²-2(x²-y²)=0} = {z ∈ℂ: |z²-1|=1}

Wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte! :)

Answer 1

Ok schau dir die linke Seite an. Die ist ja harmlos:

(x^2 + y^2)^2 - 2·(x^2 - y^2) = 0
x^4 + 2·x^2·y^2 - 2·x^2 + y^4 + 2·y^2 = 0

Kommen wir zum rechten interessanteren Teil

z = a + b·i
z^2 = a^2 - b^2 + 2·i·a·b
z^2 - 1 = a^2 - b^2 - 1 + 2·i·a·b
|z^2 - 1| = √((a^2 - b^2 - 1)^2 + (2·a·b)^2) = 1

Ich quadriere mal

(a^2 - b^2 - 1)^2 + (2·a·b)^2 = 1
(a^4 - 2·a^2·b^2 - 2·a^2 + b^4 + 2·b^2 + 1) + (4·a^2·b^2) = 1
a^4 + 2·a^2·b^2 - 2·a^2 + b^4 + 2·b^2 + 1 = 1
a^4 + 2·a^2·b^2 - 2·a^2 + b^4 + 2·b^2 = 0

Na. Damit sieht das doch dann genau so aus, wie die erste Gleichung. Meinst du nicht ?