Geometrische Folge: an = a1 * q^{n-1} und an = a0 * q^n

Question

Die geometrische Folge wird im Allgemeinem so beschrieben:

a_n = a₁ * q^n-1

aber in manchen Fälle wird es auch so berechnet:

a_n = a₁* qⁿ

Kann mir jemand erklären, wie die Regel dazu heißt?

Answer 1

Ich denke du hast hier einen Schreibfehler gemacht

a1 = a1 * q^0
a2 = a1 * q^1
a3 = a1 * q^2
an = a1 * q^{n-1}

Achtung jetzt die Folge die mit a0 startet:

a0 = a0 * q^0
a1 = a0 * q^1
a2 = a0 * q^2
an = a0 * q^n

Du siehst einmal startet die Folge bei a1 und einmal startet die Folge bei a0.

Ich mag eigentlich lieber mit a0 rechnen. Aber das hängt damit zusammen das 0 lange Zeit nicht zählbar war und ja immer noch nicht allgemein zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Mal gehört sie dazu und mal nicht. Das ist reine Definitionssache.

Answer 2

Wegen a_n = z*qⁿ = (zq)*q^n-1 = y*q^n-1 wird beim Übergang von der einen zur anderen Darstellung eigentlich nur der Faktor q gemäß dem Assoziativgesetz der Multiplikation hin oder her verschoben. Das lässt sich bei Bedarf auch gleich mehrmals machen.

Comments

Wenn da ein beliebiger Faktor stehen würde hättest du recht. Es stand dort jedoch

a_n = a₁* qⁿ

Wenn wir dort für n = 1 einsetzen erhalten wir

a₁ = a₁* q¹

was ja eigentlich nicht sein kann. Es dürfte dort also nicht a₁ stehen sondern etwas anderes. Am besten nimmt man dann a₀.

a₁ = a₀* q¹

Dann passt das.

---

Die beiden Gleichungen sollten ja kein Gleichungssystem bilden, sondern verscheidene Darstellungen geometrischer Folgen aus unterschiedlichen Quellen beschreiben. Dementsprechend können verschiedene Variablen die gleiche Bezeichnung haben. Will man die Darstellungen nun vergleichen, muss man entsprechend umbenennen, das habe ich gemacht.