Zahlenfolge: Rekursive Darstellung: a_n = 1 / a_n-1 . Explizite Darstellung?

Question

Kann mir die explizite Darstellung der Folge geben:

\( a_1 = \frac{1}{2} \)

\( a_{n}=\frac{1}{a_{n-1}} \)

Der Quotient in dieser Folge ist nicth konstant und ich weiß nicht, wie man da die explizite Darstellung rechnet.

Comments

Wie hast du es ausgerechnet? Hast du eine bestimmte Methode benutzt?

Ich habe eigentlich nichts gerechnet und auch keine bestimmte Methode benutzt. Schreibt man die ersten paar Glieder der Folge einmal auf, lautet sie für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6,...:

a(n) = 1/2, 2, 1/2, 2, 1/2, 2,...

Es wird also ständig der Kehrwert des Vorgängers gebildet, für ungerade n sind alle Folgenglieder 1/2 und für alle geraden sind sie 2. Diese Kehrwertfolge bekommt man durch fortgesetztes Potenzieren mit -1, dies wollte ich mit dem in einem anderen Kommentar angeführten Hinweis auf die entsprechende Taschenrechnerfunktion andeuten.

Hätte ich eine Methode benutzt, wäre ich auf eine andere Darstellung gekommen, denn schließlich ist die Folge auch eine alternierende Folge und daher liefert die völlig andere Darstellung

a(n) = (2+1/2)/2 + (2-1/2)/2*(-1)^n = 5/4 + 3/4*(-1)^n

die gleiche Folge.

---

@Anonym. = 5/4 + 3/4*(-1)ⁿ  Auch eine mögliche explizite Darstellung der Folge.

Bist du sicher, dass ihr das alternierende Folge nennt? Üblicherweise benutzt man alternierende Folge für Folgen, bei denen sich die Vorzeichen + / - regelmässig abwechseln.

---

@Lu: Ich habe die Folge "alternierend" genannt, ohne Rücksicht darauf, ob das üblicherweise von anderen so gemacht wird. Setze es in Anführungsstriche und betrachte die Folge als um 5/4 verschobene alternierende Folge.

---

Eine andere Darstellung wäre noch:

a(n) = 5/4+(3/4)*cos(PI*n)

Answer 1

Lösung für die beiden Möglichkeiten.

a1 = 1, 

Nach Formel ist a2 = 1/1 = 1, a3 = 1/1 , a4 = 1/1 = 1 usw

Explizite Form
Somit an = 1 für alle n in N

a1 = 1/2

Nach Formel ist a2 = 1/(1/2) = 2, a3 = 1/2, usw
d.h. a4= a2 = 2 = 2^1 , a5 = a3= 1/2 = 2^{-1}

Damit die Exponenten regelmässig zwischen -1 und 1 pendeln, explizite Form:

an = 2^ (-1)^n

Comments

Danke sehr,

das scheint die richtige Antwort zu sein.

Wie kommt man auf diese Antwort? Kannst das auch erklären, bitter?

---

Folgenglieder ausrechnen und sich dann eine Formel überlegen, die für alles passt.

---

So es gibt keine systematische Methode dafür, so verstehe ich es.

Man muss es mit der Übung und Erfahrung hinbringen. Ist das richtig?

---

Richtig. Du lernst aber in den Vorlesungen oder Übungen mit der Zeit verschiedene Typen kennen und kannst dann zielgerichtet suchen.