Rekursive Zahlenfolge in explizite umschreiben

Question

Die Formel ist 

a_n = a_n-1 + 2n + 1 

Ich hab auch schon (an) = 2; 7; 14; 23; 34; 47; 62; 79; 98; 119 

Ich weiß nicht wie ich die explizite ZV aufstelle. Kann mir jemand das bitte erklären? 

EDIT: Nachtrag aus Kommentar: a₁ = 2

Comments

Es ist kein Startwert gegeben... 

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Die Folge ist angegeben. Also Startwert ist 2.

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Klar, aber ist a_0 = 2 oder a_1 = 2?

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Der Folgenanfang ist kann auch berechnet worden sein und diese Rechnung muss nicht stimmen. Eine Angabe wie a₁=2 ist schon erforderlich, damit der Leser nicht raten muss. Daher soll der Fragesteller entsprechend nachlegen.

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Entschuldigung der Folgenanfang war gegeben. Er ist a1 = 2

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A1= 2 

Hab ich vergessen zu sagen.  Das war schon gegeben.

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Na dann. :-) 

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Ja. So hatte ich das auch interpretiert.

Du könntest zunächst immer die Differenz zweier Folgenglieder bilden und dann die Differenzen der Differenzen

2, 7, 14, 23, 34, 47

5, 7, 9, 11, 13

2, 2, 2, 2

Das ist eigentlich ein typischer Aufbau für eine quadratische Funktion.

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Mal 'ne ganz andere Frage: Was ist mit der Abkürzung "ZV" abgekürzt worden?

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Vielen Dank ! :)

2 andere haben jetzt ja hier schon ihre Lösung angeben und sie sind verschieden. Ich weiß jetzt nicht welche ich nehmen muss... 

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Hi, die Darstellung der Bildungsvorschrift einer Zahlenfolge ist natürlich nicht eindeutig. Du kannst Dir also noch eine eigene basteln und die dann nehmen. :-)

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Wenn du es wie jd133 sehen kannst dann kannst du seine Bildungsvorschrift nehmen. 

Er hat gleich gesehen, dass wenn er zu den Folgegliedern 2 addiert, dass dort lauter quadratzahlen stehen. Der Ansatz ist perfekt.

Meine Rechnung geht davon aus das man diesen Ansatz eventuell nicht sofort sieht. Um dann auf eine Bildungsvorschrift zu kommen, muss man sich eine herleiten. 

Beide Wege sollte man beherrschen. 

Das ist wie bei quadratischen Gleichungen. Wenn man Vieta kann ist es nützlich aber man kann auch einfach den Rechenweg über die pq-Formel nehmen.

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ZV könnte Zuordnungsvorschrift bedeuten.

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@Lu: Danke, da bin ich nicht drauf gekommen! :-)

Answer 1

Ich vermute eine quadratische Gleichung

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f(1) = 2
a + b + c = 2

f(2) = 7
4·a + 2·b + c = 7

f(3) = 14
9·a + 3·b + c = 14

Ich löse das LGS und erhalte a = 1 ; b = 2 und c = -1

f(x) = x^2 + 2·x - 1

Wertetabelle

[1, 2;
2, 7;
3, 14;
4, 23;
5, 34;
6, 47;
7, 62;
8, 79;
9, 98;
10, 119]

Sieht soweit also gut aus.

Comments

Das lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.

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Was ist eine vollständige Induktion?

Answer 2

Die von Mathecoach angegebene explizite Schreibweise lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen:

I.A.: f(1) = 1 + 2 - 1 = 2 → Richtig. 

I.S.: f(n+1) = (n+1)² + 2(n+1) - 1 = n² + 2n + 1 + 2n + 2 - 1 =

        (n² + 2n - 1) + 2n + 2 + 1 = (n² + 2n - 1) + 2(n+1) + 1 

Bewiesen (wenn ich mich nicht irre). Alles klar?

Gruss

Answer 3

a_n = a_n-1 + 2n + 1 

a_n - a_n-1 = 2n + 1 

(a_n - a_n-1)/1 = 2n + 1           ist doch eigentlich ein Differenzenquotient.    

Ich würde da einfach mal integrieren und dann den Anfangswert einsetzen

∫ (2n + 1) dn = n^2 + 2n + C

Wegen a₁ = 2

1 + 2 + C = 2 ==> C = -1

Also: Meine Lösung a_n = n^2 + 2n -1 stimmt mit der von Mathecoach überein.

Vielleicht kann jemand mein Vorgehen noch mathematisch sauber begründen.

Answer 4

Naheliegend und sofort ersichtlich ist a_n = (n+1)²-2.