Vektoren - Teilverhältnisse im abgebildeten Trapez

Question

Hallo.

Ich brauche Hilfe...Es geht um Üb. 42 

Answer 1

 

das geht einfacher mit dem Strahlensatz, aber ein allgemeinerer Weg ohne "etwas Paralleles" mit Hilfe der Vektorrechnung ist oft auch nützlich:

sei \(\overrightarrow{AS}\) = x *  \(\overrightarrow{AC}\)  und  \(\overrightarrow{SB}\) = y * \(\overrightarrow{DB}\)

 \(\overrightarrow{AS}\)+ \(\overrightarrow{SB}\) - \(\vec{b}\) = \(\vec{0}\)

 x *  \(\overrightarrow{AC}\) +  y * \(\overrightarrow{DB}\) - \(\vec{b}\) = \(\vec{0}\) 

x * (  \(\vec{a}\)  + 1/2 *  \(\vec{b}\) ) + y * ( - \(\vec{a}\) +\(\vec{b}\) ) - \(\vec{b}\) = \(\vec{0}\)

(x - y) * \(\vec{a}\) + (1/2·x + y- 1) * \(\vec{b}\) = \(\vec{0}\)

Wegen der linearen Unabhängigkeit von \(\vec{a}\)  und  \(\vec{b}\)  müssen die Koeffizienten = 0 sein:

x - y = 0   → x = y  

1/2·x + y - 1 = 0  → 1/2·x + x = 1  →  3/2·x = 1  → x = 2/3   ( = y)

Für die Streckenverhältnisse gilt also :

|\(\overline{AS}\)| / |\(\overline{SC}\)|  =  2/1  =  |\(\overline{SB}\)| / |\(\overline{DS}\)|

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. Es tut mir echt leid für die vielen Fragen...

Ich habe noch einige Fragen. Ich hoffe, dass du mir sie beantworten kannst :)

1.) x y stehen für die Verhältnisse?

z.B.

AS=x*AC

Kann man sagen: Wenn man das Verhätnis mit AC multipliziert, erhält man AS?

2.) Was meint man denn genau mit den Verhältnissen? Wieso erhält man, wenn man das Verhältnis mit AC multipliziert, AS?

3.) Es gilt:
AS+SB-b=0

Gilt das, weil AS + SB so groß sind wie b?

4.) Was ist hier passiert ? ;)0

x*(a+1/2*b)+y*(-a+b)-b=0 Wie kommt man denn darauf?

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1.) x y stehen für die Verhältnisse?

AS=x*AC , also AS=2/3*AC , also SC = 1/3*AC  und damit  AS / SC = 2/1   (Verhältnis)

3.) Es gilt:   AS+SB-b=0

Eine geschlossene Vektorkette hat als Summe immer den Nullvektor

x*(a+1/2*b)+y*(-a+b)-b=0 Wie kommt man denn darauf? 

In der Zeile vorher die Klammern ausmultiplizieren und dann a und b ausklammern

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Vielen Dank,

1.) Wenn ich beispielsweise das hier erklären soll:

AS=x*AC

Was sage ich denn genau: Diese Gleichung stellt ..??? ... dar.

2.)

Eine geschlossene Vektorkette hat als Summe immer den Nullvektor

Warum ist das so? Muss ich das begründen?

3.)

Ich meine wie man darauf kommt:

x*(a+1/2*b)+y*(-a+b)-b=0

Ich meine nicht die Zeile danach...

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Ich lasse die Vektorpfeile weg:

1)  AS und AC haben die gleiche Richtung, deshalb ist AS irgendein x-faches von AC, hier das 2/3 - fache

2) Man addiert mehrere Vektoren geometrisch, indem man immer den nächsten Summanden an die Spitze des vorherigen ansetzt. Der Summenvektor beginnt dann am Anfangspunkt und endet am Endpunkt dieser Pfeilkette. Wenn die beiden Punkte zusammenfallen, ist der Summenvektor = dem Nullvektor

3) Es gilt AC = AD + DC = a + 1/2·b  ....  ( DB = b + (-a) = -a+b)

das wird einfach in der nächsten Zeile für AC eingesetzt.

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Vielen Dank  :D
Ich weiß aber nur noch nicht, wie Du auf ... kommst:
... :
DB=-a+b

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DB soll ersetzt werden.

Man startet bei D, läuft gegen die Richtung von a  [ Summand -a ] und dann in die Richtung von b [ Summand +b ] und endet bei B

(Gut, dass wir mal darüber reden :-) )

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Achso.

Man kann nicht zuerst DC gehen und dann zu CB, weil dort keine Pfeile sind?

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Könnte man, aber dann müsste man CB wieder ersetzen, weil wir alles durch a und b ausdrücken wollen, damit wir über deren lineare Unabhängigkeit am Ende unsere Gleichungen für die Berechnung von x und y erhalten.

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Bei Fragen werden ich mich melden okay?

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Tu das, fleißiges Mädchen :-)

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1.)

x= 2/3 y=2/3

Mathecoach meint, dass y=1/3 sei...

2.)

Am Ende schreibst du:

Für die Streckenverhältnisse gilt also :

AS / SC= 2/1 = SB/ DS

Wie kommst du auf 1/2 und was hat das jetzt mit der Aufgabe zu tun.
Die Lösung ist doch x=2/3 y=1/3 oder?

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1.)

x= 2/3 y=2/3

Mathecoach meint, dass y=1/3 sei...

Ohne die Rechnung nachvollzogen zu haben kann jeder x und y anders definieren und in sofern auch andere Ergebnisse erhalten.

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1)  Mathecoach hat  DS = y * DB  angesetzt, ich SB = y * DB

wenn DS = 1/3·DB ist, dann ist SB = 2/3·DB

2) AS = 2/3 von AC, also ist SC = 1/3 von AC   →  AS = 2 * SC  →     AS / SC

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Tut mir leid... Jetzt kann ich nicht mehr folgen.

Laut deinem Gleichungssystem ergibt doch

x=2/3 und y=2/3 nicht wahr?

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Achso ich verstehe das jetzt

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Mein y = 2/3 bezieht sich aber auf die Strecke SB, Werde dir ein Bild machen.

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Das sind glaube ich meine letzten drei Fragen dazu :)

1.) Man kommt doch auch auf 2 durch diese Rechnung oder?:
(2/3) / (1/3) = 2:1...

2.) Wenn ich schreiben möchte:

AS = 2/3 von AC SC = 1/3 von AC

Kommen dann über diese Buchstaben ein Pfeil oder eine Linie...?

3.)

AS+SB-b=0

Das habe ich verstanden, aber wieso - b? Wieso nicht +b?

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1)  ja

2)  Gemeint sind Streckenlängen, also eine Linie

3) Wenn du von A Über S nach B und zurück nach A läufst, läufst du gegen die Richtung von b, deshalb + (-b) ,

      also ... - b

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Vielen Dank für die Hilfe.

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2)  Gemeint sind Streckenlängen, also eine Linie

Da bin ich anderer Meinung. Ihr habt gerade das Themengebiet Analytische Geometrie möchte ich meinen. Da lernt ihr mit Vektoren zu rechnen und das macht man auch.

Möchtest du mit Streckenlängen rechnen hättest du einfacher auch den Strahlensatz ausgraben können.

Man sieht ja auch schon deutlich das in der Skizze Vektoren eingezeichnet sind. Zumindest die zwei Grundlegenden a = AD und b = AB

Das ist doch schon ein Hinweis darauf, dass du auch mit diesen Vektoren rechnen solltest.

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Im Grunde habe ich die Pfeile eingezeichnet, außer jetzt hier, da ich mir nicht sicher war, ob man hier nicht die Streckenlänge eher meint:

AS = 2/3 von AC SC = 1/3 von AC

...

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@MC

Da bin ich anderer Meinung :-)

Bei AS = 2/3 • AC  wären deine Argumente sehr sinnvoll. Da würde ich auch Vektorpfeile machen.

Die Frage bezog sich aber auf

" AS = 2/3 von AC "  und das klingt mit Vektoren nicht sehr sinnvoll, mit Streckenlängen deutlich sinnvoller.

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Wenn man Streckenlängen meint dann sollte man auch genauer Schreiben

$$ | \overline{AS} | $$

und nicht einfach nur

$$ \overline{AS} $$

Mit Vektoren kann man prima schreiben AS = 2/3 * AC

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Bei ersterem  sind wir - wie meistens - der gleichen Meinung :-)

|\(\overline{AS}\)|  ......    habe ich deshalb in die Antwort integriert.

AS (ohne Kommentar) als Vektor gefällt mir nicht.

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Mir auch nicht. Daher bitte ich die Vektorschreibweise zu ergänzen :)

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@MC

vgl. meinen Kommentar:

> Ich lasse die Vektorpfeile weg: ....

Mache ich in Antworten nicht, aber bei vielen Kommentaren ist die Tipperei lästig  :-)

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Hallo.

Ich bin es wieder.

Ich habe das nochmal gemacht, aber komme nicht auf deine Lösung.

Ich hoffe, dass es nicht viel verlangt ist, wenn du kurz drüber schaust.

 

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Vielleicht schaust du dir das heute mal an?

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In deiner letzten Zeile muss  |\(\overline{AS}\)| : |\(\overline{SC}\)| = 2:1 stehen Sonst stimmt es doch mit meiner Antwort überein und ist richtig !?
Dein Verhältnis in der vorletzten Zeile steht in meiner Antwort nur in umgekehrter Reihenfolge:
 |\(\overline{SB}\)| : |\(\overline{DS}\)| = 2/1

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mhh aber du kommst ja insgesamt auf das Verhältnis 2:1

Ich habe zwei verschiedene Verhältnisse.

Tut mir leid..

Vielleicht kannst du das nochmal kurz erläutern.

Was ist nun das Verhältnis?

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Das Verhältnis der Strecken ist 2:1 oder 1:2 je nachdem welche Strecke du zu welcher anderen ins Verhältnis setzt.

Der Schnittpunkt teilt beide Strecken im Verhältnis 2 : 1. Das schreibt man wie folgt auf:

AS : SC = BS : SD = 2 : 1

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@MC  Danke für die Schönheitsoperation. Bei der Sorgfalt, mit der du operierst, erteile ich dir hiermit "Generalvollmacht", das ggf. auch in umgekehrten Fällen jederzeit zu wiederholen.  :-)

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Vielen Dank                  

Answer 2

x·(a + b/2) = a + y·(b - a)

Gleichungssystem trennen nach a und b

x·a = a - y·a --> x = 1 - y

x·b/2 = y·b --> x/2 = y

Löse das Gleichungssystem und erhalte x = 2/3 ∧ y = 1/3

Comments

Vielen Dank für die Hilfe.

Du hast es nicht mit den Teilverhältnissen gelöst .... oder?

Ist nur eine Frage...

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Der Schnittpunkt teilt die Strecken im Verhältnis 1:2

Ein Teil ist 1/3 und ein Teil ist 2/3 der gesamten Strecke.

Ich habe das mit den Streckenanteilen gerechnet.

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Leider verstehe ich das nicht genau:

x·(a + b/2) = a + y·(b - a)

x·a = a - y·a --> x = 1 - y

x·b/2 = y·b --> x/2 = y

Löse das Gleichungssystem und erhalte x = 2/3 ∧ y = 1/3

x & y stehen für die Verhältnisse
a steht für AB
b/2 steht für DC
Stimmt das ?

Und wie kommt man auf diesen mathematischen Zusammenhang?
x·(a + b/2) = a + y·(b - a)

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x und y stehen für die Streckenanteile, die du gehen musst um zum schnittpunkt zu gelangen.

x·(a + b/2)

du stehst im Punkt A und Gehst ein Anteil von AC = a + b/2 in Richtung C und landest bei S

a + y·(b - a) 

Du gehst erstmal von A nach D und von dort gehst du einen Anteil von DB = b - a in Richtung B. Auch dort musst du in S landen.

Das benutze ich jetzt als ansatz und unterteile das in Gleichungen entland des Vektors a und in eine Gleichung entlang des Vektors b.

Das gibt mir zwei Gleichungen. Und das kann ich dann nach x und y lösen.

Answer 3

Ansatz:

AS + SB + BA = 0-Vektor  
Dann alles mit a und b ausdrücken    AS =  x * AC   =   x * ( a  +   0,5 b )  und  SB = y * DB  =  y * (  - a + b  ) also       x * ( a  +   0,5 b )    +     y * (  - a + b  )   -  b  =   0    ordnen nach a und b           ( x  -  y   )  * a     +   (  0,5x  +  y  - 1  )  * b  = 0    Da a b lin. unabh. sind ,  müssen die Klammern 0 sein.    Damit x und y ausrechnen und du hast es.

Comments

Löse das Gleichungssystem

Ich habe das mit den Streckenanteilen gerechnet.

Damit x und y ausrechnen

Trivial :  Strahlensatz, fertig.