log5(125)=log3(125) * log5(a)

Question

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter, und bin mir nicht sicher, ob bisher alles richtig ist.

Die Läsung müsste folgende sein: a=3

Comments

log5 125 = log3 125 * log5 a

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Meinst du

log₅ 125 = log₃ 125 * log₅ a  ?

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Ja..Wie setzt man die denn am Handy nach unten?

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Hey die Frage hab ich vor kurzem schon mal beantwortet :)

https://www.mathelounge.de/377669/log5-125-log3-125-log5-a

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Okay Danke

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Hey die Frage hab ich vor kurzem schon mal beantwortet :)

Na, es gibt eben Leute, die lassen ihre Hausaufgaben frühzeitig erledigen, während andere dies erst auf den letzten Drücker machen... :-)

(Welche Vorgehensweise ist die bessere? Ich weiß es nicht!)

Answer 1

log5(125)=log3(125)*log5(a)

log5(5^3)=3=log3(5^3)*log5(a)

3=3*log3(5)*log5(a)

Jetzt Basiswechsel machen:

log3(5)=ln(5)/ln(a)

und log5(3)=ln(3)/ln(5)

(allg. loga(b)=LN(b)/LN(a))

--->

1=LN(3)/LN(a)

LN(a)=LN(3)

a=3

Comments

wie geht dass mit dem Basiswechsel?

kannst du dass eventuell nochmal genauer erklären? (also den Schritt dannach)

vielen Dank!

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also allgemein gilt

loga(b)=LN(b)/LN(a) (Basis e)

Ziel ist es ,log3(5) und log5(a) auf dieselbe Basis zu bekommen, damit man umstellen kann.

Log3(5)=LN(5)/LN(3)

Log5(a)=LN(a)/LN(5)

Das setzt man in die Gleichung

3=3*log3(5)*log5(a)

ein (die 3 hab ich dann gleich schon gekürzt)

1=LN(5)/LN(3)*LN(a)/LN(5)

LN(5) kürzt sich 

1=LN(a)/LN(3)

LN(3)=LN(a) |e^{...}

3=a

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Super! Jetzt habe ich es verstanden!

Answer 2

es fehlt noch der letzte Schritt:

\( \log_5 (125) = \log_3(125) \log_5(a) \)

\( 5^{\log_5 (125)} = 5^{\log_3(125) \log_5(a)} \)

\( 125 = a^{\log_3(125)} \)

\( a = 125^{\frac{1}{\log_3(125)}} \).

Das kann man aber noch weiter vereinfachen. Es ist

\( a = 125^{\frac{1}{\log_3(125)}} \)

\( = 5^{3 \frac{\log_5(3)}{\log_5(125)}} \)

\( = 5^{3 \frac{\log_5(3)}{3 \log_5(5)}} \)

\( = 5^{\log_5(3)} = 3 \).

Mister

Comments

ich verstehe den einen Schritt leider nicht, könntest du dass eventuell nochmals erklären?

Dankeschön.

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Es ist \( 5^{\log_5(125)} = 125 \). Das gilt per Definition so, die Logarithmusfunktion zur Basis \( 5 \) ist so definiert.

Auf der rechten Seite steht

\( 5^{\log_3(125) \log_5(a)} = 5^{\log_5(a)\log_3(125) } \)

\( (5^{\log_5(a)})^{\log_3(125)} \)

\( a^{\log_3(125)} \)

und zwar wieder, weil die Logarithmusfunktion so definiert ist: Es ist \( a^{\log_a(b)} = a \) für alle \( a \).

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Ok???

Ich verstehe nur den Schritt immer noch nicht, gibt es eine Bezeichnung für diese Regel?

Oder kann man es eventuell einfacher machen : ).

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Diese Regel ist die Definition der Logarithmusfunktion:

\( \log_a(b) \) ist definiert als die Zahl \( c \), die \( a^c = b \) erfüllt, also

\( a^{\log_a(b)} = b \).

Die Regel ist einfach die Definition.