Winkel zwischen Vektoren - Gleichung richtig umformen

Question

Ich bearbeite gerade für meine Vorbereitung eine Probeklausur und komme bei der Winkelberechnung - wegen fehlender Umformungsskills (so will ich das mal formulieren :D ) nicht mehr weiter. So nun zu der Aufgabenstellung:

Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a, b! wobei a(4, -3) und b (-7, -1) ist.

$$ cos(α) =  \frac { a ^ { * } b } { \| a \| ^ { * } b \| } $$

und soweit bin ich gekommen: cos(α) =  -24

5 * √50    (gesprochen: minus 24 durch 5 mal wurzel 50)

Bei einigen Beispielen (die ich überhaupt nicht nachvollziehen konnte) wurde der Term so umgeformt dass die Wurzel im Zähler stand und im Nenner eine weitere Zahl, auch wenn ich keinen Zusammenhang herstellen konnte. Leider komme ich so auch nicht weiter um letzten Endes den Kosinus errechnen zu können.

Taschenrechner ist leider nicht erlaubt.

Answer 1

Winkel zwischen [4, -3] und [-7, -1]

[4, -3] * [-7, -1] = -25

|[4, -3]| = 5

|[-7, 1]| = √50

α = arccos(-25 / (5 * √50)) = arccos(-25 / (5 * 5 * √2)) = arccos(-√2/2)) = 135 Grad

Nochmal zur detaillierten Umformung:

-25 / (5 * √50)
= -25 / (5 * √(25 * 2))
= -25 / (5 * √25 * √2)
= -25 / (5 * 5 * √2)
= -25 / (25 * √2)
= -1 / √2
= -√2 / (√2*√2)
= -√2 / 2