Geraden Parameter Vektoren: Bsp. Für welchen Wert von a schneiden sich ga und h? Wo liegt der Schnittpunkt?

Question

Hallo. Vielleicht kann jemand helfen.

Gegeben sind die Geraden und \( g_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}{-a} \\ {a} \\ {2}\end{array}\right) \)
und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {10} \\ {6}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {-1}\end{array}\right), a \in R \)

a) Für welchen Wert von a liegt der Punkt (-1 I  5 I 4) auf g_a? Liegt Q (11 I -6 I 4) auf g_a?

b) Für welchen Wert von a schneiden sich g_a und h? Wo liegt der Schnittpunkt?

c) Für welchen Wert von a liegt g_a parallel zur z-Achse?

d) Für welchen Wert von a schneidet g_a die x-Achse? Wo liegt der Schnittpunkt?

Answer 1

Hier mal nur Ansätze und Lösungen. Den Rest solltest du selber erbringen.

a)

[1, 3, 2] + r·[-a, a, 2] = [-1, 5, 4] --> a = 2 ∧ r = 1

[1, 3, 2] + r·[-a, a, 2] = [11, -6, 4] --> keine Lösung. Der Punkt liegt nicht auf ga

b)

[1, 3, 2] + r·[-a, a, 2] = [0, 10, 6] + s·[1, 2, -1] --> a = 1 ∧ r = 3 ∧ s = -2

c)

Naja für a = 0

d)

[1, 3, 2] + r·[-a, a, 2] = [x, 0, 0] --> x = 4 ∧ a = 3 ∧ r = -1

Comments

Vielen Dank

c)

Die Gerade würde ja lauten:

g₀=x=[1 , 3 , 2] + r [-0 , 0, 2 ]

mhh was wäre deine Begründung?

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Der Vektor [0,0,2] weißt doch nur in z-Richtung, der Vektor ist also parallel zur z-Achse.

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Der liegt doch genau auf der z-Achse oder?

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Ein Richtungsvektor kann irgendwo im Koordinatensystem liegen. Wenn der Anfangspunkt auf der z-Achse liegt dann liegt der Vektor auf der z-Achse. Das muss allerdings nicht sein.

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Vielen Dank         

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Hallo, können Sie b) bitte nochmal genauer erläutern? Wie kommt man auf die Ergebnisse, wenn man die beiden Gleichungen nur gleichsetzt?

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Hallo,

$$\left(\begin{array}{c}{1} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}{-a} \\ {a} \\ {2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{0} \\ {10} \\ {6}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {-1}\end{array}\right)\\ \begin{pmatrix} 1-ra \\ 3+ra\\2+2r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s \\ 10+2s\\6-s \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -ra-s\\ ra-2s\\2r+s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7\\4 \end{pmatrix}\\\text{Addiere 1. und 3. Zeile }\Rightarrow r=3\\\text{Addiere 1. und 2. Zeile }\Rightarrow s = -2\\$$

Setze r und s in die 1. oder 2. Zeile ein, um a = 1 zu ermitteln.