abcde-fghij=2017 nur ganze positive zahlen 0-9 je einmal benutzen

Question

Man darf für die Buchstaben nur ganze Zahlen einsetzen.

Man darf die Zahlen 0-9 nur je einmal benutzen.

(Achtung: keine Multplikation bzw. nicht a*b*c... gemeint)

Eigener Ansatz:

a-f=0

b-g=2

c-h=0/10

d-i=1

e-j=7

Bitte nur Tipps zum Weiterhelfen und keine direkten Lösungswege, denn ich möchte es selber lösen.

Außerdem gibt es bestimmt mehrere Lösungen und ich benötige alle Möglichkeiten.

Comments

Dein Ansatz ist dahingehend falsch, dass du

a) bei der Subtraktion die Überträge berücksichtigen musst und

b) a-f = 0 bedeuten würde, dass a=f was durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen ist. Richtig wäre a-f = 1.

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War das nicht Teil einer Wettbewerbsaufgabe?

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"Man darf für die Buchstaben nur ganze Zahlen einsetzen. Man darf die Zahlen 0-9 nur je einmal benutzen"

Es geht um Ziffern und abcde sowie fghij sind fünfstellige Zahlen.

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Die Aufgabe ist die Nr. 561013 aus der September-Runde der aktuellen Mathematik-Olympiade für die Klassen 9 und 10. Die ist m.E. gerade zu Ende und in etwa vier Wochen werden Beispiellösungen veröffentlicht. Bis dahin haben wir also genug Zeit.

Hier mal ein Vorschlag zur Verkleinerung des Suchraums: Beide Zahlen dürfen nicht den gleichen Neuner-Rest haben, da sonst 2017 durch 9 teilbar wäre. Dies kann aber nicht sein, da die Vorjahreszahl 2016 schon durch 9 teilbar ist. Das sollte die Möglichkeiten auf 8/9 reduzieren.

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Du kannst auch sagen, dass abcde und fghij nicht beide gerade oder beide ungerade sein dürfen. Du kannst auch wegen e-j=7 weitere Eingrenzungen machen. Etc. etc.

Es gibt viele Einschränkungen, die aber erfahrungsgemäß kaum weiterhelfen. Ein Brute-force-Angriff dauert in diesem Fall keine 5 Minuten zum Programmieren und etwa 1/100 Sekunde zum Berechnen, da ist jede Gehirn-Akrobatik Zeitverschwendung.

Grüße,

M.B.

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Es ist eine Aufgabe aus der Mathe-Olympiade, da sind solche Hilfsmittel nicht Teil des Lösungsweges. Es wird also auch ohne gehen.

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Ich möchte meine Suchraumeinschränkung noch etwas verschärfen: Da 2017 eine Primzahl ist, müssen abcde und fghij teilerfremd sein.

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dann Brute-Force ohne Computer:

abcde-fghij = 2017 <==> fghij+2017 = abcde

Letzte 2 Stellen:

ij+17 = de

Das sind nicht ganz so viele Möglichkeiten, wie man denkt.

3. Stelle:

h+0=c

Wegen h <> c muss ij+17=de einen Übertrag erzeugen.

Und weil c,d,e,h,i,j alle verschieden, bleiben schon nur noch wenige Möglichkeiten übrig.

Grüße,

M.B.

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ij+17 = de ;da gibt es doch sehr viele Möglichkeiten meiner Meinung nach oder übersehe ich eine Einschränkung ?

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ij kann erst einmal alle Werte von 00 bis 99 annehmen, wegen doppelter Ziffern aber nicht 00, 11, 22, usw. Da de auch keine doppelte Ziffern haben darf, fallen noch einige mehr weg.

Radikal reduziert wird aber wegen der 3. Stelle, weil dann nur noch ij = 84 bis 98 (abzügl. doppelter) übrig bleibt.

Grüße,

M.B.

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Warum wegen der 3. Stelle ?

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h+1=c

Zusammenhang ?

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das steht bereits oben

h+0 = c würde ohne Übertrag h = c ergeben, was nicht sein darf. Also muss ij+17 = de einen Übertrag erzeugen, damit müssen c = h+1 und ij >= 84 (und auch ij <= 98)  sein.

Grüße,

M.B.

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Gibt es eine Erklärung warum j=5/7 sein muss ?

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mache eine Tabelle aus den bisherigen Informationen.

Grüße,

M.B.

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Eine Tabelle mit den ganzen Einschränkungen ist der strukturierteste Lösungsweg.

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Ich finde die Erklärung nicht, warum j=5/7 sein MUSS, auch nicht ganz.

Das hängt ja Eigtl. von e ab.

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Und eine letzte Frage noch:

Habe die vollständige Aufgabe mir mal durchgelesen.

Mit 2016 ist das ja nicht möglich, das liegt doch daran, dass 2016 durch 9 teilbar ist (wie auch oben gesagt).

Allerdings ist mir der Zusammenhang zwischen der Teilbarkeit und der Differenz einer solchen Zahlenkonstruktion nicht ganz klar.

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Und warum gibt es keine Lösung, wenn die Differenz 2016 ergeben soll?

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schon als ich vor einigen Wochen die Liste erstelle, kam mir der allgemeine Gedanke:

Man nimmt alle Permutationen der Ziffern von 0 bis 9, teilt sie in der Mitte und bildet dann die Differenz. Welche Ergebnisse kann man dadurch erhalten?

Auf Deine Frage wegen 2016:

Wenn Du eine bestimmte Permutation mit 2017 kennst, kannst Du überlegen, was passiert, wenn man innerhalb einer 5er-Gruppe zwei Ziffern tauscht bzw. wenn man zwischen beiden 5er-Gruppen zwei Ziffern tauscht.

Grüße,

M.B.

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Ich verstehe immer noch nicht, warum es mit 2016 nicht geht...

Irgendwelche Begründungen...

Teilbarkeit durch 9 ??

Answer 1

41725-39708 = 2017
42715-40698 = 2017
51823-49806 = 2017
52813-50796 = 2017
71425-69408 = 2017
72415-70398 = 2017
81523-79506 = 2017
82513-80496 = 2017

Grüße,

M.B.

Comments

falsche Liste oben, richtig ist (hoffentlich):

30614-28597 = 2017
31604-29587 = 2017
40712-38695 = 2017
41702-39685 = 2017
60314-58297 = 2017
61304-59287 = 2017
70412-68395 = 2017
71402-69385 = 2017

Grüße,
M.B.

Answer 2

71402 - 69385 = 2017 Die Überlegungen zu dieser Lösung kann ich nicht vollständig wiedergeben. Auf Nachfrage kann ich einzelne Gedanken aufschreiben

Comments

Wie wären denn die Gedankengänge, wenn ich fragen darf.

Ich habe auch welche aber so richtig mathematisch begründen, kann ich sie nur teilweise...

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ab -fg = 02. Das heißt: ohne Berücksichtigung eines Übertrages kommt 31 - 29 oder 41 - 39 oder 51 - 49 oder .... und so weiter. Damit sind die 9 und die 1 bereits verwendet worden und die 7 lässt sich weder als 9 - 2 noch als 8 - 1 darstellen. Also muss es bei der Subtraktion der letzten Stellen einen Übertrag geben

cd-hi = 01 kann mit Berücksichtigung eines Übertrages noch c0 - h8 mit mit h+1 = c sein. Und dergleichen Überlegungen mehr.

Answer 3

Die Lösung ist gut nachvollziehbar, aber warum gibt es keine Lösung, wenn die Differenz 2016 ergeben soll?