Bitte die Grenzwerte berechnen! Bsp. c) lim x--> 2 (3 x^2 - 12) / (2 - x)

Question

Wie heißen die Grenzwerte?

a) lim  x-->0      (x²+x ) /  (x - 1)

b) lim  x -->0     (2x² + 1)  / x

c) lim  x--> 2     (3 x² - 12)  /  (2 - x)

Bind sehr froh über die Ergebnisse und hoffe, dass ich es dann nachrechnen kann.

Schöne Grüße von Ommel

Answer 1

Hi,

wenn es Dir nur um die Ergebnisse geht:

a) 0, kann man direkt einsetzen

b) Wir haben ein Vorzeichenwechsel an der Stelle x = 0. Von links gegen -∞, von rechts gegen ∞.

c) -12, Tipp: Klammere -3 im Zähler aus und denke an die dritte binomische Formel :).

Grüße

Comments

Danke, leider musste ich feststellen, dass ich mich überschätzt hatte.

Ich bleibe überall hängen und bin zu unsicher.

a) lim  x --> 0  (x² +x ) /  (x - 1)

 habe ich versucht

lim   h -->0     (0 +h)² + 0+h  /   ((0 + h) - 1

= h² / -1       0/ -1   = 0

 weil h = 0

Ist das so ?

Ich braüchte b) dann auch noch mal ausführlich mit Berechnung! Danke für die viele Arbeit!

Schöne Grüße O.

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a) Das passt so leider nicht.

Wenn Du unbedingt die h-Methode nutzen willst eher so:

lim   h -->0     (0 +h)² + 0+h  /   ((0 + h) - 1

= lim (h^2+h)/(h-1)

Hier kannst Du direkt schon h = 0 einsetzen, was 0/(-1) = 0 liefert.

Weswegen die Rechnung auch unnötig war. Hättest Direkt zu Beginn x = 0 einsetzen können, da wir keine Problemstelle mit x = 0 haben.

b)

b) lim  x -->0     (2x² + 1)  / x

= lim (2(h+0)^2 + 1)/(h+0) = lim (2h^2 + 1)/h = lim 2h^2/h + 1/h = lim 2h + 1/h ( = lim 1/h)

Im vorletzten Schritt haben wir 2h, mit h = 0 ist das irrelevant. Für den letzten Term haben wir 1/h. Wenn wir uns die Stelle von links anschauen (also x -> 0^{-}), dann haben wir ein Streben nach -∞. Von rechts ein Streben nach +∞.

Üblicherweise wird das Verhalten von zwei Seiten ausgedrückt über:

rechtsseitig: lim_(x→0+h) 

linksseitig: lim_(x→0-h)

Das klingt bekannt? :)

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Ein großes Dankeschön für die sehr ausführliche Antwort.

Bei b) komme ich gut mit bis zum   lim 2h +1 / h.

Da denke ich, dass man ja 1 nicht durch 0 teilen kann

und bekomme gar nichts raus...

Wenn ich für x =1 einsetze (linksseitiger Grenzwert)  komme ich für die Funktion auf 3

Wenn ich für x = -1 einsetze ( rechtsseitiger Grenzwert) komme ich auch auf 3

Was das Ergebnis bedeutet, weiß ich aber gar nicht. Muss ich noch dichter an die 0 ranrücken, um das Unendliche zu bemerken?

Danke für die Mühe!!!

Gruß von Ommel

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Die Beispiele a) und b) zeigen sehr schön, dass die "h-Methode" lediglich einen Effekt hat: Die Variable heißt nun nicht mehr x, sondern eben h. Das ist doch eine offensichtlich sinnlose Umformerei. Am Ende steht dasselbe Problem wie am Anfang.

(Bei b) musst du wesentlich näher an die 0 ran.)

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@Ommel: Wie az0815 schon anmerkte, musst Du Werte viel näher an der 0 nehmen. x = 0,0001 beispielsweise.

@az0815: Wie man an b) sehr schön sieht hat die h-Methode durchaus seinen Sinn. Wir haben

rechtsseitig: x=0+h 

linksseitig: x=0-h

Und damit keine simple Ersetzung der Variablen x, sondern eine Annäherung an die Stelle 0 von links und rechts mittels h. Dass das anders umsetzbar ist klar, deswegen ist das Verfahren aber nicht sinnlos.

Answer 2

zu c) (ohne h-Methode!)

$$ \lim_{x\to 2} \frac { 3x^2-12 }{ 2-x } = \lim_{x\to 2} \frac { 3\cdot (x+2)\cdot (x-2) }{ 2-x } = \lim_{x\to 2} \left(-3\cdot (x+2)\right)=-12$$

Comments

$$ \lim_{x\to 2} \frac { 3x^2-12 }{ 2-x } = \lim_{x\to 2} \frac { -3\cdot (-x-2)\cdot (2-x) }{ 2-x } =\lim_{x\to 2} -3\cdot (-x-2)  =3x+6=18 $$ 

Was habe ich falsch gemacht?

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Hallo Luxurynut.

Betrachte den Zähler genauer:

3x^2 - 12 = 3(x^2 -4) = 3(x-2)(x+2)

Wenn du nun vorne lieber -3 hast, musst du nur bei einem der verbleibenden Faktoren das Vorzeichen ändern.

= -3*(-x+2)(x+2)

Du hast im Prinzip im Zähler mit (-1)^3 = -1 multipliziert. Das ändert den Zähler.

Answer 3

hier , wie gewünscht, die 3 Ergebnisse:

1)  0

2) ± ∞

3) -12