beschreibung von mustern durch Formeln

Question

Aufgabe 6 (Beschreibung von Mustern durch Formeln)
Über einer Zahlengeraden in einem Dreiecksgitter kann man gleichseitige Dreiecke unterschiedlicher Größe errichten, wobei eine Ecke stets im Nullpunkt liegen soll. In der Abbildung sehen Sie das Dreieck, das zu n = 5 gehört. Sei d die Anzahl der kleinen Dreiecke, aus denen das Dreiecksnetz besteht. Geben Sie eine Formel an, durch die man d in Abhängigkeit von n berechnen kann. Begründen Sie diese Formel.

Answer 1

Hier ist ja leider keine Zeichnung gegeben. Kann es sein, dass im Gleichseitigen Dreieck zu n=5 an der Grundseite 5 gleichseitige Dreiecke liegen.

Dann würde sich die Anzahl der kleinen Dreiecke errechnen zu
d = n^2

Damit müsste das in der Zeichnung abgebildete Dreieck 25 kleine Dreiecke enthalten. Ist das so richtig?

Weiter unterhalten brauchen wir uns aber erst, wenn es klar ist wie die Aufgabe gemeint ist.

Comments

Ok. Ja das stimmt.

ich kann die zeichnung nur nicht hochladen.

Aber durch abzählen der Dreiecke bekomme ich auch 25 raus.

Nur, gibt es dazu einen Beweis?

 

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Ja. Bezeichnen wir man die Fläche eines kleinen Dreiecks mit A dann ergibt die die ja aus Grundseite (g) mal Höhe (h).

A = 1/2 * g * h

Wollen wir jetzt mal die Fläche des ganz großen Dreiecks wissen dann ergibt die sich auch aus Grundseite (5g) und der Höhe (5h)

Damit ist der Flächeninhalt
1/2 * 5g * 5h = 1/2 * 25 * g * h = 25 * A

Natürlich könnte man auch gleich die Flächenformel für ein gleichseitiges Dreieck heranziehen.

A = √3 / 4 * a^2

Wenn man jetzt die Kantenlänge des Gleichseitigen Dreiecks verfünffacht ergibt sich für die Fläche

√3 / 4 * (5a)^2 = 25 * √3 / 4 * a^2

Besteht die untere Seite jetzt nicht aus einer Einheit sondern aus n Einheiten gilt für die Fläche entsprechend:

√3 / 4 * (n*a)^2 = n^2 * √3 / 4 * a^2

Wir müssen also n^2 mal so viele kleine Dreiecke haben.