an welcher stelle hat der Graph einer Funktion das Steigungsmaß m?

Question

An welcher Stelle hat der Graph der Funktion f(x)=3x²-0,5x^-3, das Steigungsmaß -4,5.

Ich schreibe am Mittwoch eine Matheklausur und weiß nicht wie man das umrechnet mit negativen Exponenten rechnet

Answer 1

f(x) = 3·x^2 - 0.5·x^{-3}

f'(x) = 6·x + 1.5·x^{-4} = -4.5 --> x = -1

Comments

wie haben sie das gerechnet

---

In diesem Fall siehst du direkt das - 6 + 1.5 = -4.5 wäre. Also braucht man nur x so zu wählen, dann es klappt.

6·x + 1.5·x^{-4} = -4.5

allgemein mal x^4

6·x^5 + 1.5 = - 4.5·x^4

6·x^5 + 4.5·x^4 + 1.5 = 0

12·x^5 + 9·x^4 + 3 = 0

4·x^5 + 3·x^4 + 1 = 0

Wir suchen und finden eine Nullstelle bei -1 und machen eine Polynomdivision.

(4·x^5 + 3·x^4 + 1)/(x + 1) = 4·x^4 - x^3 + x^2 - x + 1

Durch eine Wertetabelle könnte man vermuten es gibt keine weiteren Nullstellen. Aber man kann eventuell Extrempunkte oder Krümmungsverhalten untersuchen

f(x) = 4·x^4 - x^3 + x^2 - x + 1

f'(x) = 16·x^3 - 3·x^2 + 2·x - 1

f''(x) = 48·x^2 - 6·x + 2

Die 2. Ableitung ist immer > 0 und damit ist der Graph immer linksgekrümmt und muss daher genau einen TP haben.

f('(x) = 16·x^3 - 3·x^2 + 2·x - 1 = 0

Über eine Wertetabelle findet man x = 0.3467745621

f(0.3467745621) = 0.7896202414

Damit gibt es keine Weitere Nullstelle.

Answer 2

f(x)=3x²-0,5x^-3

f ' (x) = 6x + 1,5 * x^-4 = -4,5   | + 4,5 | * x⁴

         6x⁵ + 4,5·x⁴ + 1,5 = 0

Die Lösung x = -1 muss man einfach durch Probieren ermitteln.

Danach musst du den Text "An welcher Stelle ... " sehr ernst nehmen und davon ausgehen, dass dieser einem (richtigerweise) zusichert, dass es nur eine solche Stelle gibt. Denn nachweisen kannst du das sicherlich nicht, weil auch die sonst übliche Polynomdivision

( 6x⁵ + 4,5·x⁴ + 1,5 ) : (x+1) = 3/2 ·(4·x⁴ - x³ + x² - x + 1) 

dabei nicht weiterhilft.

Gruß Wolfgang