Dreiecksungleichung mit minus. Herleitung von |a-b| ≥ ||a| -|b||?

Question

es geht um den letzten Punkt auf dieser Folie, die Dreiecksungleichung. Die linke Seite kann ich selber nachvollziehen mit abs(a+b)<=..........  Die Herleitung von abs(a-b)>=....... ist mir nicht ganz geläufig.

LG

\( |x| \leq c \quad \Leftrightarrow \quad-c \leq x \leq+c \)

\( \left|x-x_{0}\right|<d \)
\( |a+b| \leq|a|+|b| ;\quad |a-b| \geq|| a|-| b|| \)

Comments

Schau mal hier nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

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Wenn man die geometrische Definition der Vektoraddition einfach zugrunde legt, gilt natürlich direkt

| |a| - |b| |  ≤ | a - b | , weil sich sonst die Kreise um die Endpunkte c mit den Radien |a| bzw. |b| nicht schneiden würden.

Im ℝ¹-  wo diese Definition auch gilt - hat man dann die gesuchte Ungleichung.

Aber diese "Herleitung" ist - im Gegensatz zu der korrigierten Rechnung von @jc2144 -  nicht sehr grundlegend und deshalb nicht zu empfehlen.

Answer 1

man kann zur Herleitung

|x|=√(x^2) nutzen:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2>=a^2-2|a*b|+b^2

=a^2-2|a|*|b|+b^2=(|a|+|b|)^2

(Beachte, dass |a|^2=a^2)

Zieht man jetzt am Anfang und am Ende der Gleichung die Wurzel,erhält man

|a-b|>=||a|+|b||

Comments

>  a²-2ab+b² ≥ a²-2|a*b|+b²

=a²-2|a|*|b|+b²=(|a| + |b|)²

(Beachte, dass |a|²=a²)

Zieht man jetzt am Anfang und am Ende der Gleichung die Wurzel,erhält man

|a-b|>=||a| + |b||

sollte wohl doch so heißen:

a²-2ab+b² ≥ a²-2|a*b|+b²

=  a²-2|a|*|b|+b² =  (|a| - |b|)²

(Beachte, dass |a|²=a²)

Zieht man jetzt am Anfang und am Ende der Gleichung die Wurzel,erhält man

|a-b| ≥ | |a|  - |b| |

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Kann man das auch geometrisch nur über das Dreieck oben herleiten?

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Ach ja das + soll ein - sein , war wohl doch ein bisschen zu spät zum Antworten ^^

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Und über die Vektoren a, b und c, welche die Dreiecksseiten oben sind, kann man das nicht herleiten?

|a+b|≤|a|+|b| kann man ja auch sehr gut anhand des Dreiecks erkennen. Der c-Vektor ist natürlich größer gleich der Summe der Beträge von Vektor a und Vektor b.

Geht das für |a-b|≥||a|-|b|| auch so anschaulich oder nur über Binom und der Definition des Betrags wie du es gezeigt hast?

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Mir fällt da spontan nichts ein, wie man das sinnvoll veranschaulichen kann. Eine richtige Herleitung wäre das ja sowieso nicht.