wie beweise ich: |a-b| ≥ |a|-|b| Dreiecksungleichung ist bekannt

Question

mein ansatz ist:

|a|=a und |b|=b

das heißt a-b=>|a-b|

und es gilt |a|=-a und |b|=-b

folglich:

-a-(-b)=>|a-b|

<=>-(a-b)=>|a-b|

 

aus Duplikat:

Wie zeige ich |x−y|≥|y|−|x|?

Ich kenne folgende Regeln

|x|+|y| <= |x|+|y|

|x-y| >= |x|-|y|

|x+y| >= |x|-|y|

Comments

weiter komm ich nicht

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Du kennst doch nicht

|x|+|y| <= |x|+|y|

sondern eher

|x+y| <= |x|+|y|

oder?

Hoffe, du kommst mit der Antwort hier https://www.mathelounge.de/55099/wie-beweise-ich-a-b-≥-a-b klar.

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Es geht nicht um |a-b| >= |a|-|b|, sondern um |a-b| >= |b|-|a|. Bitte genau lesen.

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Beachte |a-b| = |-(b-a)| = |-1| |b-a| = |b-a|

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Super, darum ging es mir. Vielen Dank Lu.

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Schön, dass sich das nun geklärt hat :)

Answer 1

(a - b)² = a² - 2·a·b + b² ≥ a² - |2·a·b| + b² = a² - 2·|a|·|b| + b² = (|a| - |b|)².
Wurzel ziehen liefert  |a - b| ≥ | |a| - |b| | ≥ |a| - |b|.

Comments

was ist denn wenn b>a ist?

dann ist |a|-|b| negativ, kann man dann daraus die wurzel ziehen?

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Ich ziehe nicht die Wurzel aus  |a| - |b|, sondern aus  (|a| - |b|)², das als Quadrat immer nichtnegativ ist. Die Wurzel daraus ist  | |a| - |b| |.

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ah ok verstehe,

 ist | |a|-|b| |  dann das selbe wie |a|-|b|?

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Nein, es gilt aber  | |a| - |b| | ≥ |a| - |b|.

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und wie komm ich kann auf |a-b|≥|a|-|b|,

sorry -.-' aber ich peile es überhaupt nicht

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Es gilt wie oben gezeigt  |a - b| ≥ | |a| - |b| |.
Außerdem gilt  | |a| - |b| | ≥ |a| - |b|.
Daraus folgt  |a - b| ≥ |a| - |b|.