Zeige / Beweise: |x + y| + |x − y| ≥ |x | + |y|

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für alle x , y ∈ ℝ gilt

|x + y| +  |x − y| ≥  |x| + |y|.

Comments

Nach der Dreiecksungleichung gilt |a + b| ≤ |a| + |b| für alle a,b ∈ ℝ.
Es folgt |a + b| + |a + (-b)| ≤ |a| + |b| + |a| + |-b|. Setze nun a = x + y und b = x - y.

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Und wie schreibe ich die Lösung am besten formal auf?

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Ersetze a durch x + y, sowie b durch x - y, fasse zusammen und dividiere durch 2.

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Warum muss ich durch 2 dividieren?

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Weil du dann als Resultat exakt die zu zeigende Aussage erhältst.

Answer 1

Nach der Dreiecksungleichung gilt

|a + b| ≤ |a| + |b|

also auch

|a + (- b)| ≤ |a| + |- b|
|a - b| ≤ |a| + |b|

Daraus folgt aus Addition

|a + b| + |a - b| ≤ |a| + |b| + |a| + |b|
|a + b| + |a - b| ≤ 2(|a| + |b|)
1/2(|a + b| + |a - b|) ≤ |a| + |b|
|a| + |b| ≥ 1/2(|a + b| + |a - b|)

Wir substituieren a = x + y und b = x - y

|x + y| + |x - y| ≥ 1/2(|x + y + x - y| + |x + y - (x - y)|)
|x + y| + |x - y| ≥ 1/2(|2x| + |2y|)
|x + y| + |x - y| ≥ 1/2(2|x| + 2|y|)
|x + y| + |x - y| ≥ |x| + |y|