In welchem Verhältnis teilt der Strahl von A durch M die Seite BC?

Question

Hallo.

Im Dreieck ABC sei M der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden durch C. In welchem Verhältnis teilt der Strahl von A durch M die Seite BC?

Ich habe das Prinzip verstanden. Das Problem ist jetzt, dass ich nur ein Gleichungsystem habe, das andere würde null ergben. Dann habe ich versucht bei dem einen Gleichungssystem die zwei Unbekannten zu bestimmen, das war auch null...

Hier war mein Ansatz mit dem ich gearbeitet habe:

Comments

Von welchem Punkt D "redest" du denn da?

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Achso.

                           

                         

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Und Punkt Z?  (Mittelpunkt von AB?)

\(\overrightarrow{BD}\) + \(\overrightarrow{DC}\) + \(\overrightarrow{CZ}\) + \(\overrightarrow{ZB}\) = \(\overrightarrow{0}\)

⇔ \(\overrightarrow{b}\) + \(\overrightarrow{CZ}\) + 1/2 · \(\overrightarrow{a}\) = \(\overrightarrow{0}\)

⇔  \(\overrightarrow{b}\) + ( - \(\overrightarrow{b}\) - 1/2  \(\overrightarrow{a}\)) + 1/2 · \(\overrightarrow{a}\) = \(\overrightarrow{0}\)

ergibt dann leider eine identische Gleichung. (Das heißt, du hast zwar keinen Fehler gemacht, aber du kannst mit der Gleichung nichts anfangen :-))

Du musst für den Ansatz (geschlossene Vektorkette (= "Rundweg" von Mathef)) immer ein Dreieck wählen, bei dem ein Eckpunkt innerhalb der Figur liegt, z.B. ΔCMD (wie Mathef)

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Ja.

Tut mir leid...ich habe das vergessen...

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Damit du siehst, was du falsch gemacht hast, habe ich meinen letzten Kommentar ergänzt.

Noch etwas:

\(\overrightarrow{BD}\) = α · \(\overrightarrow{BC}\)  und  \(\overrightarrow{DC}\) = β · \(\overrightarrow{BC}\)

D liegt auf der Strecke BC

dann darfst du niemals zwei Unbekannte einführen, denn

wenn z.B. \(\overrightarrow{BD}\) = 1/3 · \(\overrightarrow{BC}\) ist, dann ist \(\overrightarrow{DC}\) = 2/3 · \(\overrightarrow{BC}\)

Es gilt dann also β = 1 - α  und eine Unbekannte ist überflüssig.

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Vielen Dank

Du hast BD=b

Ist aber nicht BC=b ?

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Ich habe  \(\overrightarrow{BD}\) + \(\overrightarrow{DC}\) = \(\overrightarrow{b}\)  [ = \(\overrightarrow{BC}\) ]

und  \(\overrightarrow{CZ}\) = ( - \(\overrightarrow{b}\) - 1/2  \(\overrightarrow{a}\))

Answer 1

Deine Skizze mit Vektor a und Vektor b ist doch schon prima.

Nimm mal den Rundweg CMD dann hast du

CM = 0,5 * ( 0,5a + b) 

und AD =  a + x*b  also

MD = y* (a+xb)    

und  DC = ( 1-x) *b

Das gibt also :

0,5 * ( 0,5a + b)  +  y* (a+xb)     +  ( 1-x) *b  =  0-Vektor

jetzt nach a und b sortieren und dann sind die Faktoren

vor a und b jeweils 0 und du kannst x und y ausrechnen.

Comments

Vielen Dank

wie kommt man auf CM = 0,5 * ( 0,5a + b) ?

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CM ist die halbe Seitenhalbierende.

Die ganze wäre - b - 0,5 a.Ich merke gerade, dass ich das falsche Vorzeichen

hatte, das war MC.  Richtig ist also

CM = - 0,5 * ( 0,5a + b)