Vom Punkt T (50 I -50 I 100) fällt Licht in Richtung [-1-a, 3-a, a-2 ].

Question

Hallo

Die Aufgabe ist noch nicht vollständig gepostet, ein Moment.

Vom Punkt T (50 I -50 I 100) fällt Licht in Richtung [-1-a, 3-a, a-2 ].

a) Zeigen Sie, dass vom Punkt T je ein Lichtstrahl auf die Punkte B und S fällt.

b) Zeigen Sie: Jeder Punkt der Kante BS wird angestrahlt.

c) Bestimmen Sie den Schattenwurf der Kante BS in der x-y-Ebene.

Comments

Welche Punkte B und S ?

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Hallo.

Das ist keine Hausaufgabe, ich übe nur.

Es reichen nur Ansätze, damit ich es eventuell vergleichen kann.

Gegeben sei eine quadratische Pyramide, die 100 m breit und 50 m hoch ist.

a) Bestimmen Sie die GLeichungen der Geraden in denen die vier Pyramidenkanten verlaufen.

b) Forscher vermuten, dass das Baumaterial über riesige Rampen, die sich längs der eingezeichneten blauen Strecken an die Pyramide lehnten, transportiert wurde. Die erste Rampe hat im Punkt P 10 m Höhenunterschied erreicht. Bestimmen Sie P.

c) Die anschließende Rampe soll den glecihen Steigungswinkel besitzen. Bestimmen Sie die Gleichung der entsprechenden Geraden. In welchem Punkt Q endet diese Rampe? In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?

d) In welchen Punkten durchstoßen die Pyramidenkanten eine Höhe von 20m? In welcher Höhe beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide 25 m²?

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Hier ist ein Bild dazu ...

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Gib uns deine Lösungen und wir sagen ob du auf dem richtigen Weg bist.

a) ist doch ein Selbstgänger. Nur viel Schreibarbeit vier Geradengleichungen aufzustellen.

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@probe: Neue Fragen  (wie z.B. deine Pyramidenfrage) bitte nicht als Kommentar, sondern als neue Frage einstellen.

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Hallo Lu. Das kann man zwar nicht richtig sehen aber das ist eine Aufgabe. BS ist Teil der Pyramide. Allerdings ist mir nicht klar wo probe jetzt wirklich Hilfe benötigt.

Oswald hat aber die Ansätze für den zweiten Teil mit der Geradenschar schon gut beantwortet.

Das einzige was am ersten Teil etwas Tricky ist ist Punkt Q auszurechnen.

Punkt Q sollte nach meiner Rechnung die Strecke CS im Verhältnis 9:16 teilen. Es bringt abr probe sicher nichts, wenn wir hier nur Lösungen veröffentlichen.

probe hat inzwischen genug Aufgaben gelöst um eine Ahnung vom Thema zu haben um eigene Lösungsideen zu probieren. Jeder ist hier sicher gerne bereit die Lösungsideen zu kommentieren und zu berichtigen, falls nötig.

Zumindest die Aufgaben ohne Punkt Q sollten eigentlich im Rahmen des möglichen liegen.

Wenn nicht dann einfach Bescheid geben wo der Schuh drückt. Dann kann gezielt geholfen werden.

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Danke. Meldung aufgehoben.

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Die Aufgabe bereitet mir einige Probleme:

a)

g1: x= [0 , 0 ,  0] +r * [0 , 100 , 0]

g2: x= [0, 100 , 0 ] +s * [-100, 0 , 0]

g3: x=[-100 , 100 , 0 ] + t *[0 , -100 , 0 ]

g4: x= [0 , 0, 0] + u* [-100, 0 , 0 ]

b)

P (0 I 100 I 10)

Jetzt komme ich nicht mehr weiter

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Die Aufgabe ist wirklich komplex.

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Bereits a) ist verkehrt

a) Bestimmen Sie die GLeichungen der Geraden in denen die vier Pyramidenkanten verlaufen.

Ich denke damit sind die 4 Seitenkanten gemeint. Meinst du nicht auch? Gerade weil diese für die folgenden Berechnungen notwendig sind.

b)

Die x-Koordinate vom P ist verkehrt. Sie ist sicher nicht 0. P befindet sich auf der Strecke von B nach S und könnte mit dieser Geraden auch berechnet werden.

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Wie lauten die Koordianten von S?
S ( 0 I 50 I 50) ?

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Fast. Die x-Koordinate stimmt nicht.

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-100                     

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Bitte nicht raten. A B C D sind die Ecken der Grundfläche S befindet sich über der Mitte der Grundfläche.

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50                     

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Hast du die Richtung des Pfeils bei der x-Achse berücksichtigt?

Ich habe für S(-50, 50, 50) .

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Stimmt -50       

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Das sieht jetzt gut aus.

Jetzt schaffst du auch die Geradengleichungen der 4 Seitenkanten.

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Stimmen die jetzt?:
AS->g1:x=[0 ,0 ,0 ] +r*[-50 , 50 , 50 ]

BS->g2:x=[0 , 100 , 0] + s* [-50 , -50 , 50]

CS->g3:x=[-100, 100 , 0] +t* [50, -50 , 50 ]

DS->g3:x=[-100 , 0, 0 ]+u*[50 , 50 ,50 ]

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Jepp. Alle Richtig.

Nun noch P angeben und die Steigung von AP angeben.

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Das geht klar          

Das macht mir aber Probleme:

Bestimmen Sie die Gleichung der entsprechenden Geraden. In welchem Punkt Q endet diese Rampe? In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?

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Zunächst P ausrechnen und die Steigung bestimmen. Ich komme auf eine Steigung von m = √83/83

Dann kommt der Schwierigste Teil der Aufgabe. Den Punkt Q als Punkt auf BS darstellen, also mit Parameter und den Vektor PQ in Abhängigkeit dieses Parameters angeben.

Nun die Steigung von PQ gleich der Steigung m setzen und damit den Parameter und damit den Punkt Q bestimmen.

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Der Punkt P lautet (-10 I 90 I 0).

Wie bestimmt man die Steigung, das mache ich zum ersten Mal (Analytische Geometrie)...

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c)

AP = [-10, 90, 10]

Sinus des Steigungswinkels

[-10, 90, 10]·[0, 0, 1]/(ABS([-10, 90, 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83

PQ = [-100, 100, 0] + r * [50, -50, 50] - [-10, 90, 10] = [50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]

[50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]·[0, 0, 1]/(ABS([50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83 --> r = 0.36

In welchem Punkt Q endet diese Rampe?

Q = [-100, 100, 0] + 0.36 * [50, -50, 50] = [-82, 82, 18]

In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?

[-10, 90, 10] + r * ([-82, 82, 18] - [-10, 90, 10]) = [x, y, 15] --> x = -55 ∧ y = 85 ∧ r = 0.625 --> [-55, 85, 15]

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Vielen Dank

Was beduetet ABS?

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Der Betrag eines Vektors. ABS(x) = |x|

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Vielen Dank

Sinus des Steigungswinkels

[-10, 90, 10]·[0, 0, 1]/(ABS([-10, 90, 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83

Soll ich jetzt arcsin nehmen?

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Vielleicht kannst du das mal als Antwort hinzufügen...

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c)

Nun versuche ich das mal nachzuvollziehen:

AP = [-10, 90, 10]

Sinus des Steigungswinkels

[-10, 90, 10]·[0, 0, 1]/(ABS([-10, 90, 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83

Man hat hier die Steigung von AP bestimmt. Jedoch nicht den Steigungswinkel.

?

PQ = [-100, 100, 0] + r * [50, -50, 50] - [-10, 90, 10] = [50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]

Hier bestimmt man die Gerade PQ. Dazu braucht man noch die Geradenglecihung von BS. Jedoch bildet man noch die Differenz von P, da P ein Punkt ist, der auf der Geraden liegt von PQ.

[50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]·[0, 0, 1]/(ABS([50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83 --> r = 0.36

Man setzt die Gleichung gleich der Steigung. Mir ist unklar , wie man auf r kommt.

---> 50r-10=√83/83 -->r=0,2

In welchem Punkt Q endet diese Rampe?

Q = [-100, 100, 0] + 0.36 * [50, -50, 50] = [-82, 82, 18]

Das ist mir klar.

In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?

[-10, 90, 10] + r * ([-82, 82, 18] - [-10, 90, 10]) = [x, y, 15] --> x = -55 ∧ y = 85 ∧ r = 0.625 --> [-55, 85, 15]

Das ist mir auch klar.

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Was soll ich als Antwort hinzufügen?

"Man hat hier die Steigung von AP bestimmt. Jedoch nicht den Steigungswinkel."

Ich habe nicht gesagt, dass ich den Steigungswinkel bestimme, sondern den Sinus des Steigungswinkels. Und ich brauche heir nicht den arcsin zu nehmen, weil ich nicht den steigungswinkel haben möchte sondern mir langt das argument später zum vergleich.

"Hier bestimmt man die Gerade PQ. Dazu braucht man noch die Geradenglecihung von BS. Jedoch bildet man noch die Differenz von P, da P ein Punkt ist, der auf der Geraden liegt von PQ. "

Ich bestimme nicht die Gerade PQ sondern den Richtungsvektor PQ = Q - P, wobei ich halt Q allgemein mit Parameter ausdrücken muss weil Q noch unbekannt ist.

"Mir ist unklar , wie man auf r kommt."

Auflösen nach r

[50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]·[0, 0, 1]/(ABS([50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83

(50·r - 10) / √((50·r - 90)^2 + (10 - 50·r)^2 + (50·r - 10)^2) = √83/83

83/√83·(50·r - 10) = √((50·r - 90)^2 + (10 - 50·r)^2 + (50·r - 10)^2)

83/√83·(50·r - 10) = √(2500·r^2 - 9000·r + 8100 + 2500·r^2 - 1000·r + 100 + 2500·r^2 - 1000·r + 100)

83/√83·(50·r - 10) = √(7500·r^2 - 11000·r + 8300)

83·(50·r - 10)^2 = 7500·r^2 - 11000·r + 8300

83·(2500·r^2 - 1000·r + 100) = 7500·r^2 - 11000·r + 8300

207500·r^2 - 83000·r + 8300 = 7500·r^2 - 11000·r + 8300

200000·r^2 - 72000·r = 0

8000·r·(25·r - 9) = 0

r = 0 oder r = 9/25 = 0.36

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Was soll ich als Antwort hinzufügen?

Ich meine, dass du eine Antwort von dir (siehe Kommentare) als Antwort hinzufügst...

Vielen Dank für deine Hilfe :)

Wieso entfällt r = 0..?

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Welcher Punkt ergibt sich denn für r = 0 ? Macht das Sinn ?

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Okay mir ist das jetzt klar.

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Mathecoach wie kommst du auf AP

A Ist doch 0 0 0

P ist -10 90 0

Du sagst, dass AP -10 90 10 ist wieso?

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Asoo mir ist das jetzt klar.

P lautet ja -10 90 10

Answer 1

Ich denke mir meiner Hilfe über die Kommentare ist das Meiste bereits geklärt. Bei Fragen melde dich gerne wieder.

Comments

1.)

[-10, 90, 10]·[0, 0, 1]/(ABS([-10, 90, 10])·ABS([0, 0, 1])) = √83/83

Wie kommt man auf diese Koordianten?

--->  [0, 0, 1]

2.)

In welchen Punkten durchstoßen die Pyramidenkanten eine Höhe von 20m.

Man setzt alle 4 Geradengleichungen aus a) je mit (xI yI 20) ?

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[0, 0, 1] ist ein Richtungsvektor. Und zwar hier einer der senkrecht nach oben zeigt. Der Sinus des Steigungswinkels zur Grundfläche ist ja der Anteil den wir in Richtung z-Achse gehen, durch die Länge des Vektors.

Ich habe da die allgemeine Winkelfomel für Vektoren benutzt. Die lernt ihr auch noch kennen, wenn ihr sie noch nicht hattet.

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Vielen Dank

In welchen Punkten durchstoßen die Pyramidenkanten eine Höhe von 20m.

Man setzt alle 4 Geradengleichungen aus a) je mit (xI yI 20) ?

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Ja genau.

AS: X = [0, 0, 0] + r * [-50, 50, 50] = [x, y, 20] --> x = -20 ∧ y = 20 ∧ r = 0.4 --> [-20. 20, 20]

BS: [-20, 80, 20]

CS: [-80, 80, 20]

DS: [-80, 20, 20]

Man kann hier durchaus die vorhandene Symmetrie nutzen und muss nicht alle Punkte einzeln berechnen.

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Vielen Dank

In welcher Höhe berägt der horizontale Querschnitt der Pyramide 25m²?

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h/5 = 50/100 --> h = 2.5 --> 2.5 m unter der Spitze bzw. in 47.5 m Höhe ist der Querschnitt 25 m² groß.

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Vielen Dank

h/5 = 50/100 --> h = 2.5 --> 2.5 m unter der Spitze bzw. in 47.5 m Höhe ist der Querschnitt 25 m² groß.

Das wird ja mit dem Strahlensatz gelöst, wie kommt man aber auf 5?

Kann man auch eine Probe führen, damit man auf 25m² kommt?

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Die Grundseitenlänge muss 5 m sein damit ich 25 m^2 Fläche habe.

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Vielen Dank 

Wir haben ja ein Quadrat vorliegen, das heißt A=a*a...

Answer 2

a) Zeige dass die Gleichungssysteme T + r [-1-a, 3-a, a-2 ] = B und T + r [-1-a, 3-a, a-2 ] = S Lösungen für r besitzen.

b) Zeige dass das Gleichungssystem T + r [-1-a, 3-a, a-2 ] = B + t(S-B) für jedes t∈[0;1] eine Lösung für r besitzt.

c) Löse die Gleichungssysteme T + r(B-T) = (x_B,y_B,0) und T + r(S-T) = (x_S,y_S,0) nach r, x_B, y_B bzw. nach r, x_S, y_S. Die Punkte (x_B,y_B,0) und (x_S,y_S,0) sind dann die Schatten der Punkte B und S.

Comments

Bei a) berechnet man nicht den Schnittpunkt oder? Man prüft ob Der Punkt B und S auf der Gerade liegt oder?

Wie lautet die Koordinaten von S?  S(0 I 50 I 50) ?

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Mir ist das hier jetzt klar:

b) Zeige dass das Gleichungssystem T + r [-1-a, 3-a, a-2 ] = B + t(S-B) für jedes t∈[0;1] eine Lösung für r besitzt.

Ich erhalte für r=0, was heißt das jetzt?

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Das heißt T = B + t(S-B) egal welchen Wert t hat. Das wiederum bedeutet, dass S-B = 0, also S=B sein muss. Das führt dann zu T = B = S (wegen T = B + t·0).

T = B = S widerspricht natürlich der Aufgabenstellung. Da hast du wohl irgendwo einen Rechenfehler eingebaut.

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Vielen Dank
Ich verstehe das aber trotzdem nicht...

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Gleichung III muss lauten 100 + ra - 2r = 50s

Es gilt

       100 - 4·0 = 100

r muss aber erfüllen

       100 - 4·r = -100

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Vielen Dank

r=50 s=1 a=1

Was heißt das jetzt nochmal für die Lösung?

Muss ich noch etwas berechnen?

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r = 50 ist richtig.

r = 50, s = 1, t = 1 ist eine mögliche Lösung des Gleichungssystems. Wenn  dass die einzige ist, dann wird nur der Punkt S angestrahlt. Das widersprcht der Aufgabenstellung.

Finde weitere Lösungen.

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Wie viele brauche ich denn?

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Unendlich viele. Für  jeden Punkt zwischen B und S brauchst du eine. Und es gibt unendlich viele Punkte zwischen B und S.

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mhh Wie zeige ich das denn jetzt?

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Speziell in diesem Fall: r = 50 in die drei Gleichungen einsetzen. Gleichungen einzeln nach s umformen. Dadurch bekommst du drei Formeln wie du aus einem Wert für a einen Wert für s berechnen kannst. Diese drei Formeln dürfen sich nicht gegenseitig widersprechen.

Allgemeiner betrachtet solltest du dich damit befassen, wie man mit dem Gauß-Verfahren unterbestimmte lineare Gleichungssysteme löst.

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Vielen Dank für die Hilfe :)
Ich erhalte bei allen drei Gleichungen--->s=a
Das heißt jeder Punkt der Kante BS wird angestrahlt, reicht das dann als Erklärung?

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Das ist richtig und reicht.

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Vielen Dank