Zeigen, dass x^2+y^2+z^2=1 an der Stelle (1/2,1/2,sqrt(2)/2) lokal eindeutig nach z auflösbar ist. ...

Question

Vorbemerkung: Die Auflösungsfunktion z=h(x,y) kann direkt angegeben werden. Es ist jedoch nicht zugelassen, diese explizite Darstellung für die Lösung der Aufgabe zu verwenden.
a)Zeigen sie, das die Gleichung für die Einheitskugel im R^3 x^2+y^2+z^2=1 an der Stelle (1/2,1/2,sqrt(2)/2) lokal eindeutig nach z auflösbar ist.
b) Geben sie eine explizite Parameterdarstellung der Gestallt z=T(x,y) für die Tangentialebene an die Einheitskugel an der Stelle (1/2,1/2,sqrt(2)/2) an.
Kann vielleicht jemand das Beispiel durchrechnen damit ich meine Lösung vergleichen kann?Danke schon mal für die Hilfe!

Answer 1

Ich gehe mal analog zu

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Beispiel_2

vor. Bei dir ist ja F : IR² x IR ---->  IR  mit  F ( x,y,z) = x² + y² + z² - 1

und DF die Matrix mit einer Zeile und 3 Spalten

(   2x    2y    2z   )

Die letzte Teilmatrix ist die 1x1 Matrix mit dem Element 2z,also ist die Sache immer lokal eindeutig auflösbar für z ≠ 0.Also für alle Punkte, die nicht in der xy-Ebene liegen.

Das ist beim gegeb. Punkt der Fall.

b) Geben sie eine explizite Parameterdarstellung der Gestallt z=T(x,y) für die Tangentialebene an die Einheitskugel an der Stelle     P (1/2,1/2,sqrt(2)/2) an.

Die Tangentialebene hat den Normalenvektor  0P also 

  (1/2,1/2,sqrt(2)/2)^T  und geht durch den Punkt    P (1/2,1/2,sqrt(2)/2).Die Ebenengleichung ist also zunächst

(1/2)*x +(1/2 )* y  +  (sqrt(2)/2)* z =  d 

und Einsetzen von   P (1/2,1/2,sqrt(2)/2)

ergibt d = 1, also  

E:  (1/2)*x +(1/2 )* y  +  (sqrt(2)/2)* z =  1  |*2


x  +   y   +  sqrt(2) * z = 2  

sqrt(2) * z = 2  - x  -  y     | : sqrt(2)

z =  sqrt(2)  -   x / sqrt(2)   -   y / sqrt(2)

Comments

Danke für die Hilfe. Zu b) Der Normalvektor auf die Tangentialebene ist der Gradient der Funktion in dem Punkt oder etwa nicht? Ich hab das Beispiel etwas anders gerechnet aber komme auf das gleiche Ergebnis.

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Ja, geht auch. Ich hatte das mehr geometrisch interpretiert.