ok geh die Schritte einzeln durch und überprüfe ob du verstanden hast was und vor allem warum etwas gemacht wurde:
Seien \((x,y), (u,v) \in \mathbb{R}^2\) und \( \alpha \in \mathbb{R} \).
1.) Definitheit:
\( \| (x,y) \| = 0 \Leftrightarrow |y|+|y-x|= 0 \Leftrightarrow |y| = 0 \wedge |y-x| = 0 \Leftrightarrow y = 0 \wedge x = 0\)
2) Homogenität:
$$ \| \alpha \cdot (x,y) \| = \| ( \alpha x , \alpha y) \| \\= |\alpha y| + |\alpha y - \alpha x| = |\alpha|( |y| + |y-x|)) = |\alpha| \cdot \| (x,y) \|$$
3.) Subadditivität (auch Dreiecksungleichung genannt):
$$ \| (x,y) + (u,v) \| = |y+v| + |y+v-(x+u)| \leq |y|+|v| + |y-x| +|v-u| = \| (x,y) \| + \| (u,v) \|$$
Gruß