Skizzieren Sie { x€R^n | ||x|| ≤ 1} für die folgenden Normen:

Question

Skizzieren Sie \( \left\{ x\in { ℝ }^{ n }\quad |\quad ||x||\leq 1 \right\}  \) für die folgenden Normen:

1)  \( n=2,\quad ||x||=|{ x }_{ 1 }|+|{ x }_{ 2 }|, \)

2)  \( n=2,\quad ||x||=\sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 } } , \)

3)  \( n=2,\quad ||x||=max\left( |{ x }_{ 1 }|,|{ x }_{ 2 }| \right),\)

4)  \( n=3,\quad ||x||=|{ x }_{ 1 }|+|{ x }_{ 2 }|+|{ x }_{ 3 }|,\)

5)  \( n=3,\quad ||x||=\sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 }+{ x }_{ 3 }^{ 2 } } ,\)

6)  \( n=3,\quad ||x||=max\left( |{ x }_{ 1 }|,|{ x }_{ 2 }|,|{ x }_{ 3 }| \right).\)

Hinweis: Für die Skizzen im \({ ℝ }^{ 3 }\) können Sie stattdessen auch den Schnitt der jeweils gesuchten Menge mit dem ersten Oktanden, also \( \left\{ x\in { ℝ }^{ 3 }\quad |\quad { x }_{ 1 }\ge 0,{ x }_{ 2 }\ge 0,{ x }_{ 3 }\ge 0,||x||\leq 1 \right\}   \) zeichnen.

Answer 1

1)

2) Erinnere dich an dan Pythagoras. Auf dem Einheitskreis gilt x^2 + y^2 = 0.

Zeichne den folgenden Kreis

und markiere sein Inneres inkl. Rand.

 ~plot~sqrt(1-x^2);-sqrt(1-x^2)~plot~

3)

5) 

ergibt analog zu 2) das Innere einer Einheitskugel inkl. ihre Oberfläche.

Comments

Kannst du sagen, wie man darauf kommt bzw. was deine Herangehensweise ist?

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Kreis und Kugel sollte klar sein, das ist ja Pythagoras und du kennst bestimmt Kreis- und Kugelgleichungen. (Stichworte für Wikipedia).

Nun 1) Betrachte erst mal den Rand (=1)

|x| + |y| = 1

und bestimme einige Punkte.

P(1|0) , Q(0.25|0.75), R(0.5 | 0.5), S(0.75|0.25)

T(-1|0) , U(-0.25|0.75), V(-0.5 | 0.5), W(-0.75|0.25) 

usw.

Du wirst feststellen, dass sich 5 gerade Strecken ergeben.

Nun kommt noch das Ungleichzeichen ins Spiel und du bekommst auch noch das innere des Vierecks.

3) Analog wie 1) Randpunkte mit Norm 1 sind z.B.

P(1|0) , Q(1|0.75), R(1 | 0.5), S(1|0.25)

T(-1|-1) , U(-0.25|-1), V(-0.5 | -1), W(-0.75| -1) 

usw.

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4) und 6) sind dann die 3-dim. Varianten der Resultate von 1) und 3). Also Würfel.

Die Skizzen überlasse ich deinen Zeichenkünsten.

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kann jemand mir sagen , wie ich die 3-dimensionalen Varianten zeichne ...

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würde auch gern wissen, wie man das im R³ zeichnet! Muss man dann dann von x1 zu 1, dann 1 nach rechts und 1 nach oben quasi und die punkte dann verbinden und die Fläche ist dann der schnitt oder wie?

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Nun 4) Betrachte erst mal den Rand (=1)

|x| + |y| + |z| = 1

und bestimme einige Punkte.

P(1|0|0) , Q(0.25|0.75|0), R(0.5 | 0.5|0), S(0.75|0.25|0)

T(-1|0|0) , U(-0.25|0.75|0), V(-0.5 | 0.5|0), W(-0.75|0.25|0)  

X(0|0|1}, Y(0|0|-1)

usw.

Du wirst feststellen, dass sich gerade Strecken in den Koordinatenebenen ergeben.

Nun kommt noch das Ungleichzeichen ins Spiel und du bekommst auch noch das Innere des Körpers.

6) Analog wie 4) Randpunkte mit Norm 1 sind z.B.

P(1|0|0) , Q(1|0.75|1), R(1 | 0.5|0), S(1|0.25|1)

T(-1|-1|1) , U(-0.25|-1|1), V(-0.5 | -1|1), W(-0.75| -1|0)  

usw.

Zeichne jeweils diese Punkte im 3-dim. Koordinatensystem ein. Dann geschickt verbinden.