Sphären und Hammingkugeln bei Normen und Metriken

Question

Aufgabe:

a) Berechne die 1-Norm und die 5-Normd der Vektoren v₁ \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und v₂ \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

b) Skizziere die Sphäre (Oberfläche) S₁ (0,R²) bezüglich der durch die 1-Norm induzierten Metrik d₁ : R² x R² -> R mit d1 (v,w) = ||v-w||₁

c) Es sei die Menge {a,b,c} und die Punkte x₁ (a,a,c,c) und x₂ = (c,c,b,b) im A⁴ gegeben.

i) Wie viele Punkte des A4 liegen in der Hammingkugel B₂ (x₁, A⁴)

i) Wie viele Punkte des A4 liegen im Schnitt der Hammingkugel B₂ (x₁, A4) und B₂ (x₂, A⁴)

d) Es sei die Funktion f: R -> R gegeben mit f (a) = (a + 2)². Berechne die relative Kondition von f bei a₁ = 1 und a₂ = -1. Verstärkt oder dämpft f den Fehler für a₁ oder a₂?

Problem/Ansatz:

a) 1-Norm wäre 1 + 0 = 1 und 1/2 + 1/2 = 1

5-Norm wäre die 5. Wurzel aus 1, also 1 und die 5. Wurzel aus 0,5⁵ * 0,5⁵ , also ca. 0,5743

b) Hier versteh ich nicht, was v-w sein soll? Ist die Oberfläche der gesamte Körper oder nur das oberhalb von x? Wie soll es gezeichnet werden?

c) i) Punkte in der Hammingkugel wären 3⁴ (3 Buchstaben a,b,c und 4 Stellen), oder?

ii) Schnitt keine Ahnung

d) Relative Kondition. f(x) - f(x)/f(x). Also 2a - ((a+2)²)/(a+2)² und dann für a und b einsetzen?

Comments

c) und d) sind vermutlich Kombinatorik. Alternativ: Theoretische Informatik.

Haben Hamming-Distanz und Hamming-Kugel etwas miteinander zu tun?

Konkret: Kannst du mit dieser Frage https://www.stacklounge.de/4741/grosste-hamming-distanz-unterschiedlich-wortern-erreichen etwas anfangen?

Zur aktuellen Frage: Was genau ist A und was A^4 ?

c) i) Punkte in der Hammingkugel wären 34 (3 Buchstaben a,b,c und 4 Stellen), oder?

B_2 (x1, A^4) bedeutet wohl, dass der Abstand von x1 einem Element von A^4 maximal 2 betragen darf (?) Vielleicht auch, dass es weniger als zwei sein sollen.

Du hast aber vermutlich einfach die Anzahl Punkte in einem virtuellen A^4 berechnet.