Vektorraum mit Normen und Abbildungen

Question

Ich habe Fragen zu dieser Aufgabe:

Zeige dass R-Vektorraum R² ein normierter Raum ist,

II*II_max : R² -> R,  (x₁ x₂) ↦ II(x₁ x₂)II_max := max ( Ix₁I, Ix₂I)

und skizziere die Menge

K₁(0) := ( x = (x1 x2) ∈ R : IIxII_max ≤ 1).

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Nun weiss ich ja, dass ein normierter Raum

d(x,y) := IIx-yII

erfüllen muss.  Wie ich II*II_max aber mit dieser Definition beschreiben kann ist mir nicht ganz klar und auch nicht klar ist mir wie ich die dann in Verbindung bringe...

Bei dem Skizzieren verstehe ich nicht ganz was gefragt ist...  Wirklich eine Skizze, sähe die dann etwa so aus

Lg

Answer 1

Der rot schraffierte Bereich ist der Bereich in dem weder die x- noch die y-Koordinate betragmässig grösser als 1 ist.

Und somit K₁(0) := { x = (x1 x2) ∈ R : IIxII_max ≤ 1}.

In deiner Antwort hattest du die Betragstriche vergessen.

Comments

Zeige dass R-Vektorraum R² ein normierter Raum ist,

II*II_max : R² -> R,  (x₁ x₂) ↦ II(x₁ x₂)II_max := max ( Ix₁I, Ix₂I)

Hier musst du die definierenden Eigenschaften für Norm beweisen. Vgl. z.B. Definition in Wikipedia oder noch besser in euren Unterlagen. https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)

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Hallo Lu

Danke für deine Antwort.

Meine Bedenken zur zweiten Aufgabe;

Wären die Resultate von  Ix1I und Ix2I nicht immer ≥0 (und ≤1)? (hier das blaue)

Wenn x1 (resp. x2) < 0 dann würde dies ja automatisch auch x2 (resp x1) < 0 bedingen...

 

Zur ersten Frage muss ich mir nocheinmal ein paar Gedanken machen.

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Was ist denn deiner Meinung nach max(|-0.5|,|-0.5|) ?
max(|-0.5|,|-0.5|) = max(0.5, 0.5) = 0.5 und das ist definitiv ≤ 1. Daher gehört der Punkt (-0.5 , -0.5) sicher zum gesuchten Bereich. Genauso wie die restlichen Punkte des roten Bereichs.

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Hallo Lu

Ich glaube ich habe den zweiten Punkt verstanden, danke.

Zum ersten Punkt habe ich mir nun diese Überlegung gemacht.

Für jede Norm gilt:

 II x + y II ≤ IIxII + IIyII

Und für jeden normierten Raum gilt:

I IIxII - IIyII I  ≤ II x + y II ≤  IIxII + IIyII

Ich seh da also zweimal dieselbe Bedingung. Weil in der Aufgabe II*IImax als Norm bezeichnet wird, kann ich ja also annehmen, dass dies die richtige Aussage ist welche ich zeigen muss.

Wie bringe ich nun aber den Vektor im II*IImax in die obige Form?

 

Lg