Beweis, dass die Produktmetrik eine Metrik auf M ist.

Question

Halli

Semesterstart - liebe Grüße an alle Ana 2 Studenten :-)

Ich habe Probleme beim Beweis, dass die Produktmetrik eine Metrik ist.

Seien also (M1,d1), (M2,d2) metrische Räume. Zeigen Sie, dass die Abbildung

d:(M1xM2)x(M1xM2) → ℝ;  ((x₁,x₂),(y₁,y₂) ↦ d1(x₁,y₁)+d2(x₂,y₂)

Metrik auf M1xM2 ist.

Beweisen muss ich ja die 3 Eigenschaften der Metrik, also

1) d(x,y)=0 ⇔ x=y

2) Für alle x,y∈M gilt d(x,y)=d(y,x)

3) Dreiecksungleichung

Zu 1) habe ich bereits folgendes:

Rückrichtung: Sei x1=x2 und x2=y2, so folgt: d1(x1,y1)=0, d(x2,y2)=0 und somit d1+d2=0.

Hinrichtung: Sei d1(x1,y1)+d2(x2,y2)=0, so folgt entweder d1=d2=0 oder d1=-d2. Da für eine Metrik aber nach einem Lemma in unserer VL keine negativen Werte auftreten können, gilt d1=d2=0.  Somit folgt, dass x1=y1 und x2=y2

Ist das so richtig? Sieht irgendwie falsch aus.

Zu 2) und 3) habe ich noch keine Ansätze.

Answer 1

Deine Überlegung zu 1 ist doch OK.

zu 2 vielleicht so:

Seien x, y aus M1xM2 also  x=(x1;x2) und y=(y1;y2) mit x1 aus M1 etc.

Dann gilt d(x,y) = d1(x₁,y₁)+d2(x₂,y₂)  und

d(y.x)  =  d1(y₁,x₁)+)+d2(y₂,x₂)    und weil die "alten"

Metriken symmetrisch sind, ist das beides gleich.

zu 3:  Ist zu zeigen:  d ( x,z)  ≤   d(x,y) + d(y,z)

Muss man alle drei beides ausführlich hinschreiben

d(x,z) = d1(x₁,z₁)+d2(x₂,z₂) 
d(x,y) = d1(x₁,y₁)+d2(x₂,y₂) 
d(y.z)  =  d1(y₁,z₁)+)+d2(y₂,z₂)

also     d(x,y) + d(y,z) 
    = d1(x₁,y₁)+d2(x₂,y₂) +  d1(y₁,z₁)+d2(y₂,z₂)
= d1(x₁,y₁) +  d1(y₁,z₁) + d2(x₂,y₂) +d2(y₂,z₂)

und wegen der Dreiecksungleichung für die alten Metriken
  ≥  d1(x₁,z₁)        +    d2(x₂,,z₂)

=  d(x,z)

Comments

Super Antwort, !

Fragen die noch bleiben:

Wie genau muss ich mir diese Metrik vorstellen? Ich habe jetzt verstanden wie man damit rumrechnet, aber was genau macht diese Metrik? Irgendwie hab ich noch nicht ganz begriffen was dieses Kreuzprodukt aus (M1xM2)x(M1xM2) bedeuten soll, ganz unformal.

Sind x1, y1, z1 jeweils aus M1 und x2,usw aus M2?

Was genau sind hier jeweils "die alten Metriken"? Meinst du damit d(x,y) ohne ₁₂₃, für die ich die Eigenschaften von Metriken anwenden darf?

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Die "alten Metriken" sind die auf dem Räumen M1 und M2.

Der "neue" Raum ist ja die Menge aller Paare mit erster

Komponente in M1 und 2. in M2.

Einfaches Beispiel wäre M1 = M2 = IR mit  

 d(x,y) = | x-y| für alle  x,y aus IR als Metrik.

Dann ist der Produktraum die Menge aller Paare ( also etwa als

Punkte im KOS vorstellbar ) und die Metrik wäre dann die

Methode den Abstand zweier Punkte (a,b) und (c,d) durch

|a-c| + |b-d| zu bestimmen.

Das wäre etwa in einem Straßennetz parallel verlaufenden

Straßen , die jeweils im Abstand 1 von Nord nach Süd und

von West nach Ost laufen, der Abstand zweier Kreuzungspunkte,

wenn man von einem zum anderen laufen will.

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Danke dir! Jetzt hab ichs verstanden :)