Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen (DGL). y' = (x+y+1)^2 , y(-2)=1.

Question

Wie kann ich folgende Aufgabe lösen?

lG

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Tipp: Satz von Picard-Lindelöf

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könntest du mir beim Ansatz helfen?

Answer 1

Du hast eine Dgl. der Form \( y' = f(ax+by+c) \). Die wird substituiert mit \( z = ax+by+c \). Dann hast Du eine Dgl. \( z' = b\cdot f(z)+a \). Diese ist eine Dgl. mit trennbaren Variablen.

Grüße,

M.B.

Answer 2

z= x+y+1

y=z-x-1

y' = z' -1

->eingesetzt:

z' -1 =z^2

dz/dx =z^2 +1

dz/(z^2+1)= dx

arctan(z)= x+C

z= tan(x+C)

x+y+1= tan(x+C)

y= tan(x+C) -x-1

Danach ist noch die AWB in die Lösung einzusetzen:

y= -x +tan(x+2) -1

Comments

hi, ich habe ein ähnliches problem

wie nennt man diese art das dgl zu lösen? würde mich gerne einlesen

und wieso kann man aus y'=(x+y+1)^2 | z=x+y+1 machen und man lässt das ^2 ganz weg?

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Lösen von DGL mittels Substitution:

anbei ein Link dazu

http://www.mathepedia.de/y%27_f(axbyc).aspx

Ich habe den Ausdruck in der Klammer substituiert , nach y umgestellt und einmal abgeleitet. Dann habe ich y' und y in die Aufgabe eingesetzt und das Ganze mittels Trennung der Variablen gelöst.

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Grundsätzlich kann man bei einer Substitution  z = ....    rechts hinschreiben, was man will.

Das führt aber nur bei sinnvoll gewählten z  zum Ziel. 

Und bei  y ' = f(ax+by+c) weiß man eben, dass die Substitution z = ax+by+c  mit späterer "Trennung der Variablen" zum Ziel führt.

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Ein Name für dieses Lösungsverfahren ist mir leider nicht bekannt.

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habe was gefunden und hoffentlich etwas verstanden also einfach die obere frage von mir ignorieren :) MFG