Ungleichung Zeichen umdrehen Fallunterscheidung + Ungleichung mit mehreren Parametern

Question

Frage 1:

unter https://www.mathe-online.at/mathint/ungl/i.html bei "Fallunterscheidung" steht

"Das bedeutet also x < 1. Wir multiplizieren beide Seiten von (21) mit x – 1. Da vorausgesetzt wird, dass x – 1 < 0 ist, muss nun das Ordnungszeichen umgedreht, d.h. ≥ durch ≤ ersetzt werden."

Ich weiß, dass sich das Vorzeichen bei mal (-..) umkehrt, da sich eben die Vorzeichen in der gesamten Ungleichung umkehren.

Warum muss in dem Fall dort oben das Vorzeichen umgekehrt werden? Vermutlich weil "Ist der Nenner negativ, dreht sich das Ungleichheitszeichen um."

Kann man sich leicht herleiten, warum dies so ist?

Frage 2:

Es gilt:$$ a=\frac{1}{2 b} \\ a\left(b+\theta x^{3}\right) \geq 0 f.\forall, \quad x, \theta \in[-1,1] $$

Ich muss unbedingt diese Art von Ungleichungen üben. Gibt es einen bestimmten Namen dafür? "Ungleichung mehrere Parameter" heißt es nicht.

Oder falls jemand Zeit hat kurz zu erklären, was man bei dieser Art von Ungleichungen anders macht, wäre es sehr hilfreich. Vielen Dank

Answer 1

Nicht das Vorzeichen ist hier gemeint, sondern das Ordnungszeichen ≥.

\( \frac{x-2}{x-1} \) ≥3  soll mit x-1<0 multiupliziert werden:

\( \frac{x-2}{x-1} \)·(x-1) ≤3·(x-1) links kürzen, rechts ausmultiplizieren:

x-2≤3x-3

Comments

Ja, da habe ich die beiden Wörter verwechselt.

Das Ordnungszeichen kehrt sich um, da x-1 innerhalb dieser Fallentscheidung immer negativ ist. Ich hatte beim lesen nicht bedacht, das x-1<0 automatisch negativ bedeutet.

Vielen Dank für die Antwort.

Könntest du noch Frage 2 beantworten?

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Die Frage 2 ist nach  meiner Meinung unvollständig. Kann es sein, dass zu θ etwas bekannt ist? Kann es sein, dass da noch ein ⇒(oder derartiges) fehlt?

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Das "θ∈[−1,1]" oben hast du gesehen, oder?

Die Lösung lautet dann:

$$ \left\{(a, b) | a=\frac{1}{2 b}, b \geq 1\right\} \cup\left\{(a, b) | a = \frac{1}{2 b}, b \leq 1\right\} $$

Answer 2

Bruchgleichungen oder auch -ungleichungen löst man indem man mit dem Nenner multipliziert. Ist der Nenner negativ dann multipliziert man mit einem negativen Wert und dann kehrt sich ein Ungleichheitszeichen um

(x - 2) / (x - 1) ≥ 3

Fall 1: x - 1 > 0 bzw. x > 1

x - 2 ≥ 3(x - 1)

Fall 2: x - 1 < 0 bzw. x < 1

x - 2 ≤ 3(x - 1)

Eigentlich ist das aber etwas weiter unten sehr gut beschrieben. Hast du alles durchgelesen?