Ungleichung mit Bruch (2x -1)/(x+2) > 3. Fallunterscheidung habe ich verstanden aber wie kommt man auf die Lösung?

Question

Folgende Ungleichungs soll gelöst werden

$$\frac { 2x-1 }{ x+2 } >3\quad (x\neq -2)$$

Weil es im Bezug auf das Relationszeichen eine Rolle spielt ob der Nenner (den man durch Multiplikation beseitigt) nun positiv oder negativ ist, muss man hier auch eine Fallunterscheidung machen.

1. Fall: x+2 > 0 ⇒ x > -2 (Relationszeichen bleibt erhalten)

2. Fall: x+2 < 0 ⇒ x < -2 (Relationszeichen wird geändert)

Auflösung nach x liefert folgende Ergebnisse 

1. Fall: x < -7  
Das steht aber zur Bedingung x > -2 im Widerspruch und ist somit eine Scheinlösung. 

2. Fall: x > -7
Die Bedingung lautet ja x < -2 und x > -7 erfüllt das. Das ist also eine Lösung. 

Problem 

Im Buch steht die Lösung als "x ist kleiner als minus zwei und x ist grösser als minus 7"

-7 < x < -2

Woher kommt die Begrenzung -2 ich dachte dass die Lösung einfach x > -7 wäre, hätte ich die Fallunterschiedung nicht gemacht, käme ich nicht auf x < -2 und wüsste nicht dass er auch fordert dass x zur gefundenen Lösung durch Umformung noch eine weitere Begrenzung hat. 

Ich sehe den Zusammenhang nicht dass das intervall (-7,-2) die Lösung ist.

Comments

Du hast doch gestern bei quadratischen Funktionen mit Skizzen gearbeitet. Das wäre hier auch nützlich für das Verständnis. Gebrochenrationale Funktionen kann man einfach skizzieren.

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Jetzt sehe ich dass im Intervall (-7,-2) die Funktion grösser 3 ist. 

Heisst das, dass ich wenn ich die Falliunterscheidung mache und sage, dass...

1. x+2 > 0 ist,  ich gleichzeitig sage, das x+2 (nur dann) grösser Null ist wenn x gleichzeitig grösser als -2 gewählt wird. 

x+2 > 0 
x > -2

Sprich x+2 kann nur unter der Voraussetzung grösser Null sein wenn das x > -2 gewählt wird. 

Und analog im zweiten Fall..

x+2<0 

Ich nehme an dass hier der Nenner negativ ist, also sage ich, dass x+2<0 ist. Dieser Fall tritt aber nur ein, wenn ich gleichzeitig durch Umformung bestätige dass das x (wenn ich will dass x+2 kleiner null ist) kleiner als -2 gewählt werden muss. 

Dieser Zusammenhang fehlt mir.

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Vielleicht hilft dir:

x = -2 ist ein einfacher Pol . D.h. bei der Asymptote x=-2 macht der Graph einen Vorzeichenwechsel und alles was rechts von diesem Pol kommt liegt dann unterhalb der horizontalen Asymptote y=2 des Graphen von f(x)= (2x-1)/(x-2).

Answer 1

Woher kommt die Begrenzung -2 ich dachte dass die Lösung einfach x > -7 wäre, hätte ich die Fallunterschiedung nicht gemacht, käme ich nicht auf x < -2

Aber dann wüsstest du auch nicht, ob du bei

der Multiplikation mit x+2 das Ungleichheitszeichen umdrehen

musst oder nicht.  Aber um auf    x> -7 zu kommen, hast

du ja das Zeichen umgedreht, bist also von x< -2 ausgegangen und

musst diese Voraussetzung auch beim Feslegen der Lösungsmenge

berücksichtigen

  

Answer 2

Hallo limonade,

bei jedem Fall ergibt sich die Teillösungsmenge aus der Fallbedingung und der errechneten Lösungsmenge, weil du die errechnete Lösung ja nur unter der Bedingung des Falls errechnet hast.

Hier also für Fall 2:     x < - 2  und   x > -7      ⇔    -7 < x < -2

Da die Teillösungsmenge für Fall 1 leer ist , ist  das auch die Gesamtlösungsmenge der Ungleichung:

L = ] -7 ; -2 [

Hier siehst du, dass die Funktionswerte von (2x-1)/(x+2)  genau in diesem Intervall größer als 3 sind:

Gruß Wolfgang

Comments

Wenn eine Fallunterscheidung vorliegt schaue ich immer unter welchen Bedingungen wird der Term positiv oder negativ und diese Bedingung ist auch eine Lösung und bildet den ersten "Randpunkt" meines Intervalls?

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Durch das Auflösen beider Fälle erhalte ich den anderen "Randpunkt" und je nach dem welcher Fall eitritt, bestimmt welche Forderung auch erfüllt sein muss. 

Stimmt das?

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So kann man das wohl nicht sagen:

Jeder Fall hat eine Bedingung  (hier für Fall 2:  x<-2 ) unter der du eine Lösungsbedingung  (hier für Fall 2:  X>-7)  errechnest.

Beide zusammen bestimmen die Teillösungsmenge für diesen Fall (hier für Fall 2:  -7 < x < -2)

Alle Teillösungsmengen der einzelnen Fälle werden dann zur Gesamtlösungsmenge vereinigt:

Hier:  L  =  L₁ ∪ L₂  =  { }  ∪  ] -7 ; -2 [   =   ] -7 ; -2 [ 

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> je nachdem welcher Fall eintritt, bestimmt welche Forderung auch erfüllt sein muss.  

Es könnte bei anderen Aufgaben durchaus mehrere Fälle geben, bei denen die Teillösungsmenge nicht leer ist.

Answer 3

Vermeide die Fallunterscheidung so oft wie möglich. Du brauchst sie, wenn du mit einem Term multiplizierst, der x enthält. Solange du nur addierst und subtrahierst, brauchst du nichts zu tun.

(2x -1)/(x+2) > 3        , Division durch (x+2) sagt dir schon mal, dass x ≠ -2 .

 (2x -1)/(x+2) > 3            | Bruchaddition rückwärts wird angestrebt. Geschickt ergänzen

 (2(x+2) -1-4)/(x+2) > 3

(2(x+2) -5)/(x+2) > 3

(2(x+2))/(x+2) - 5/(x+2) > 3                

2 - 5/(x+2) > 3   |- 2 + 5/(x+2)

0 > 1 + 5/( x+2)  . Den rechten Teil hier kannst du einfach skizzieren!

Studiere mal die folgende Skizze und überlege, welchen x-Bereich du bestimmen sollst:

~plot~ 1 + 5/( x+2); (2x -1)/(x+2) ; 3 ;[[-10|10|-10|10]] ~plot~ 

0 >  (x+2)/(x+2) + 5/(x+2) = (x+7)/(x+2) 

Ein Bruch ist genau dann kleiner als 0, wenn der Zähler kleiner als 0 und der Nenner grösser als 0 ist oder , wenn der Zähler grösser als 0 und der Nenner kleiner als 0 ist. 

Hier ist nur der 2. Fall überhaupt möglich, da x+7 immer grösser ist als x+2. Also sorgen wir dafür, dass 

x+2 < 0 und x+7 > 0, d.h. 

x < -2 und x > -7. 

Comments

Ab Schritt "Geschickt ergänzen verstehe ich nichts mehr. :-/

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Ab Schritt "Geschickt ergänzen verstehe ich nichts mehr. :-/ 

Mein Ziel ist dieses (x+2) teilweise wegzubekommen. 

Aber, nachdem du ja selbst schon eine Skizze hinbekommen hast, kannst du diesen Part eigentlich überlesen. Einfach alles auf einen Bruchstrich bringen (mit Addition und Subtraktion) und dann im grünen Teil weiter machen. 

Answer 4

Alternative: 3 nach links, HN bilden und zusammenfassen:

(-x-7)/(x+2) > 0

Fallunterscheidung:

....

Answer 5

Hallo. Ich würde das so rechnen:

$$ \frac { 2x-1 }{ x+2 } > 3 \quad \land \quad x\ne -2 $$rechte Seite auf gleichen Nenner erweitern:
$$ \frac { 2x-1 }{ x+2 } > \frac { 3x+6 }{ x+2 } \quad \land \quad x\ne -2 $$vereinfachen:
$$ 0 > \frac { x+7 }{ x+2 } \quad \land \quad x\ne -2 $$Fallunterscheidung einsparen, indem wir beachten, dass der Zähler der rechten Seite immer größer als der Nenner ist und die rechte Seite daher nur negativ sein kann, wenn der Zähler positiv und der Nenner negativ ist:
$$ x+7 > 0 \quad \land \quad x+2 < 0 \quad \land \quad x\ne -2 $$nach x auflösen
$$ x > -7 \quad \land \quad x < -2 \quad \land \quad x\ne -2 $$und vereinfachen:
$$ -7 < x < -2 $$Das sind ausführliche, aber wenige, fünf Schritte bis zum Ergebnis.