Zeigen, dass die Einheitskugel B1(0) := {f ∈ C[0, 1] : ||f||∞ ≤ 1} ⊆ C[0, 1] nicht kompakt in (C[0, 1], || · ||∞) ist.

Question

Für jedes n ∈ N sei fn : [0, 1] → R definiert durch fn(x) = xⁿ.
(a) Zeigen Sie anhand der Funktionen (fn)n∈N, dass die Einheitskugel
B1(0) := {f ∈ C[0, 1] : ||f||∞ ≤ 1} ⊆ C[0, 1]
nicht kompakt in (C[0, 1], || · ||∞) ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Normen || · ||1 und || · ||∞ auf C[0, 1] nicht äquivalent sind.